On considère l'équation suivante :
\sqrt{-x^2+4x+5}=x-2
Quel est le domaine de définition de l'équation ?
L'équation existe si et seulement si : -x^2+4x+5\geqslant0
Déterminons le signe du trinôme -x^2+4x+5
Calcul du discriminant
\Delta=b^2-4ac=4^2-4\times\left(-1\right)\times5=16+20=36
\Delta\gt0 et a\lt0 donc le trinôme est négatif à l'extérieur des racines et positif à l'intérieur.
Calcul des racines
x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-4-\sqrt{36}}{2\times\left(-1\right)}=\dfrac{-4-6}{-2}=\dfrac{-10}{-2}=5
x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-4+\sqrt{36}}{2\times\left(-1\right)}=\dfrac{-4+6}{-2}=\dfrac{2}{-2}=-1
Tableau de signes du trinôme
L'équation est définie sur \left[-1;5 \right].
Quelle est la solution de l'équation ?
Sur son ensemble de définition, l'équation \sqrt{A}=B\Leftrightarrow A=B^2 \text{ et }B\geqslant0
Résolution de B\geqslant0
x-2\geqslant0 \Leftrightarrow x\geqslant2
Résolution de A=B^2
-x^2+4x+5=\left(x-2\right)^2
\Leftrightarrow -x^2+4x+5=x^2-4x+4
\Leftrightarrow -2x^2+8x+1=0
Calcul de \Delta
\Delta=b^2-4ac=8^2-4\times\left(-2\right)\times1=64+8=72
\Delta\gt0 donc l'équation admet deux solutions réelles :
- x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-8-\sqrt{72}}{2\times\left(-2\right)}=\dfrac{-8-6\sqrt{2}}{-4}=\dfrac{4+3\sqrt{2}}{2}\approx4{,}12
- x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-8+\sqrt{72}}{2\times\left(-2\right)}=\dfrac{-8+6\sqrt{2}}{-4}=\dfrac{4-3\sqrt{2}}{2}\approx-0{,}12
Recherche des solutions de l'équation
x_1 et x_2 appartiennent à l'ensemble de définition de l'équation \left[-1;5 \right]. Mais seul x_1=\dfrac{4+3\sqrt{2}}{2} vérifie la condition x\geqslant2.
L'équation admet une solution \dfrac{4+3\sqrt{2}}{2}.