On considère l'équation suivante :
\sqrt{x^2-x-6}=x-4
Quel est le domaine de définition de l'équation ?
L'équation existe si et seulement si : x^2-x-6\geqslant0
Déterminons le signe du trinôme x^2-x-6
Calcul du discriminant
\Delta=b^2-4ac=\left(-1\right)^2-4\times1\times\left(-6\right)=1+24=25
\Delta\gt0 et a\gt0 donc le trinôme est positif à l'extérieur des racines et négatif à l'intérieur.
Calcul des racines
x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{1-\sqrt{25}}{2\times1}=\dfrac{1-5}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2
x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{1+\sqrt{25}}{2\times1}=\dfrac{1+5}{2}=\dfrac{6}{2}=3
Tableau de signes du trinôme
L'équation est définie sur \left]-\infty;-2 \right]\cup\left[3;+\infty \right[.
Quelle est la solution de l'équation ?
Sur son ensemble de définition, l'équation \sqrt{A}=B\Leftrightarrow A=B^2 \text{ et }B\geqslant0
Résolution de B\geqslant0
x-4\geqslant0 \Leftrightarrow x\geqslant4
Résolution de A=B^2
x^2-x-6=\left(x-4\right)^2
\Leftrightarrow x^2-x-6=x^2-8x+16
\Leftrightarrow 7x-22=0
\Leftrightarrow x=\dfrac{22}{7}
Recherche des solutions de l'équation
\dfrac{22}{7} appartient à l'ensemble de définition de l'équation \left]-\infty;-2 \right]\cup\left[3;+\infty \right[ mais ne vérifie pas la condition x\geqslant4.
L'équation n'a pas de solution.