On considère l'équation suivante :
\sqrt{-3x^2+x+1}=-x+1
Quel est le domaine de définition de l'équation ?
L'équation existe si et seulement si : -3x^2+x+1\geqslant0
Déterminons le signe du trinôme -3x^2+x+1
Calcul du discriminant
\Delta=b^2-4ac=1^2-4\times\left(-3\right)\times1=1+12=13
\Delta\gt0 et a\lt0 donc le trinôme est négatif à l'extérieur des racines et positif à l'intérieur.
Calcul des racines
x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1-\sqrt{13}}{2\times\left(-3\right)}=\dfrac{-1-\sqrt{13}}{-6}=\dfrac{1+\sqrt{13}}{6}\approx0{,}76
x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1+\sqrt{13}}{2\times\left(-3\right)}=\dfrac{-1+\sqrt{13}}{-6}=\dfrac{1-\sqrt{13}}{6}\approx-0{,}43
Tableau de signes du trinôme
L'équation est définie sur \left[\dfrac{1-\sqrt{13}}{6};\dfrac{1+\sqrt{13}}{6} \right].
Quelle est la solution de l'équation ?
Sur son ensemble de définition, l'équation \sqrt{A}=B\Leftrightarrow A=B^2 \text{ et }B\geqslant0
Résolution de B\geqslant0
-x+1\geqslant0 \Leftrightarrow x\leqslant1
Résolution de A=B^2
-3x^2+x+1=\left(-x+1\right)^2
\Leftrightarrow -3x^2+x+1=x^2-2x+1
\Leftrightarrow -4x^2+3x=0
\Leftrightarrow x\left(-4x+3\right)=0
\Leftrightarrow x=0\text{ ou }x=\dfrac{3}{4}
Recherche des solutions de l'équation
0 et \dfrac{3}{4} appartiennent à l'ensemble de définition de l'équation \left[\dfrac{1-\sqrt{13}}{6};\dfrac{1+\sqrt{13}}{6} \right] et vérifient la condition x\leqslant1.
L'équation admet deux solutions 0 et \dfrac{3}{4}.