On considère l'équation suivante :
\sqrt{3x^2+2x+2}=2x+2
Quel est le domaine de définition de l'équation ?
L'équation existe si et seulement si : 3x^2+2x+2\geqslant0
Déterminons le signe du trinôme 3x^2+2x+2
Calcul du discriminant
\Delta=b^2-4ac=2^2-4\times3\times2=4-24=-20
\Delta\lt0 et a\gt0 donc le trinôme est positif pour tout x réel.
Tableau de signes du trinôme
L'équation est définie sur \mathbb{R}.
Quelle est la solution de l'équation ?
Sur son ensemble de définition, l'équation \sqrt{A}=B\Leftrightarrow A=B^2 \text{ et }B\geqslant0
Résolution de B\geqslant0
2x+2\geqslant0 \Leftrightarrow x\geqslant-1
Résolution de A=B^2
3x^2+2x+2=\left(2x+2\right)^2
\Leftrightarrow 3x^2+2x+2=4x^2+8x+4
\Leftrightarrow -x^2-6x-2=0
Calcul de \Delta
\Delta=b^2-4ac=\left(-6\right)^2-4\times\left(-1\right)\times\left(-2\right)=36-8=28
\Delta\gt0 donc l'équation admet deux solutions réelles :
- x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{6-\sqrt{28}}{2\times\left(-1\right)}=\dfrac{6-2\sqrt{7}}{-2}=-3+\sqrt{7}\approx-0{,}35
- x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{6+\sqrt{28}}{2\times\left(-1\right)}=\dfrac{6+2\sqrt{7}}{-2}=-3-\sqrt{7}\approx-5{,}66
Recherche des solutions de l'équation
x_1 et x_2 appartiennent à l'ensemble de définition de l'équation \mathbb{R}. Mais seul x_1=-3+\sqrt{7} vérifie la condition x\geqslant-1.
L'équation admet une solution -3+\sqrt{7}.