Soit f la fonction suivante définie sur \mathbb{R} :
f(x) = |2x+3|
Sur quel intervalle est-elle dérivable ?
Quelle est l'expression du nombre dérivé en x d'une fonction g ?
D'après le cours, le nombre dérivé d'une fonction g en x est la limite quand h tend vers 0 du taux d'accroissement \dfrac{g(x+h) - g(x)}{h} .
Ainsi, le nombre dérivé en x d'une fonction g s'écrit : \lim\limits_{h \mapsto 0} \dfrac{g(x+h) - g(x)}{h} .
Quelle est l'expression de f en retirant la valeur absolue ?
La fonction valeur absolue peut se réécrire de la façon suivante :
\begin{cases} |x| = x \text{ si } x \gt 0 \cr \cr f(x) = 0 \text{ si } x=0 \cr \cr f(x) = -x \text{ si } x \lt 0 \end{cases}
Or, la fonction f s'annule en x = -\dfrac{3}{2} et :
2x + 3 > 0 \Leftrightarrow x > -\dfrac{3}{2}
Ainsi, on peut réécrire f de la façon suivante :
\begin{cases} f(x) = 2x + 3 \text{ si } x \gt -\dfrac{3}{2} \cr \cr f(x) = 0 \text{ si } x=\dfrac{-3}{2} \cr \cr f(x) = -2x - 3 \text{ si } x \lt -\dfrac{3}{2} \end{cases}
Quel est le nombre dérivé de la fonction f ?
On distingue les cas selon la position de x par rapport à -\dfrac{3}{2} :
Si x > -\dfrac{3}{2} :
f(x) = |2x + 3| = 2x + 3 car 2x + 3 > 0
Le nombre dérivé s'écrit :
\lim\limits_{h \mapsto 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \dfrac{2(x+h) + 3 - (2x + 3)}{h} = \dfrac{2h}{h} = 2
Si x < -\dfrac{3}{2} :
f(x) = |2x + 3| = -2x - 3 car 2x + 3 < 0
Le nombre dérivé s'écrit :
\lim\limits_{h \mapsto 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \dfrac{-2(x+h) - 3 - (-2x - 3)}{h} = \dfrac{-2h}{h} = -2
Ainsi :
\begin{cases} \lim\limits_{h \mapsto 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = 2 \text{ si } x > -\dfrac{3}{2} \cr \cr \lim\limits_{h \mapsto 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = -2 \text{ si } x < -\dfrac{3}{2} \end{cases}
Sur quel intervalle f est-elle dérivable ?
Le nombre dérivé de f s'écrit :
\begin{cases} \lim\limits_{h \mapsto 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = 2 \text{ si } x \gt -\dfrac{3}{2} \cr \cr \lim\limits_{h \mapsto 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = -2 \text{ si } x \lt -\dfrac{3}{2} \end{cases}
On a donc :
\lim\limits_{h \mapsto 0^-} \dfrac{f(-\dfrac{3}{2}+h) - f(x)}{h} = -2
et
\lim\limits_{h \mapsto 0^+} \dfrac{f(-\dfrac{3}{2}+h) - f(x)}{h} = 2
Le nombre dérivé ne converge pas vers la même limite en x = -\dfrac{3}{2} .
f est donc dérivable sur \mathbb{R} \backslash \left\{ -\dfrac{3}{2} \right\} .