Dans les cas suivants, donner le domaine de dérivabilité de la fonction f.
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=\dfrac{\left(x+\dfrac{1}{x}\right)(-3x+3)}{\sqrt{x-1}}
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables respectivement sur I_1 et I_2, alors le domaine de dérivabilité de f= \dfrac{u}{v} est I_1\cap I_2 \backslash \left\{ v(x)=0 \right\}.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}^*, u(x)=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)(-3x+3)
- \forall x \in \left[ 1,+\infty \right[, v(x)=\sqrt{x-1}
On a :
- u le produit d'une somme dérivable sur \mathbb{R}^* et d'une fonction affine dérivable sur \mathbb{R}, donc u est dérivable sur \mathbb{R}^*.
- v la composée d'une fonction affine par une racine, donc v est dérivable sur \left] 1,+\infty \right[.
Par ailleurs :
((v(x))^2=0\Leftrightarrow \left(\sqrt{x-1}\right)^2=0\Leftrightarrow x-1=0\Leftrightarrow x=1
Donc le domaine de dérivabilité I de f est :
I=I_1\cap I_2=\mathbb{R}^* \cap\ \left] 1,+\infty \right[=\left] 1,+\infty \right[
Ainsi, le domaine de dérivabilité de f est \left] 1,+\infty \right[.
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in D_f, f(x)=\dfrac{\left(2x+x^2\right)(x+3x^2)}{\left(x+1\right)^2}
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables respectivement sur I_1 et I_2, alors le domaine de dérivabilité de f= \dfrac{u}{v} est I_1\cap I_2 \backslash \left\{ v(x)=0 \right\}.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}^*, u(x)=\left(2x+x^2\right)(x+3x^2)
- \forall x \in \left[ 1,+\infty \right[, v(x)=\left(x+1\right)^2
On a :
- u le produit d'une somme dérivable sur \mathbb{R} et d'une somme dérivable sur \mathbb{R}, donc u est dérivable sur \mathbb{R}.
- v la composée d'une fonction affine par une fonction carré, donc v est dérivable sur \mathbb{R}.
Par ailleurs :
v(x)=0\Leftrightarrow \left(x+1\right)^2=0\Leftrightarrow x+1=0\Leftrightarrow x=-1
Donc le domaine de dérivabilité I de f est :
I=I_1\cap I_2=\mathbb{R} \cap\ \mathbb{R}\backslash\left\{-1\right\}[=\mathbb{R}\backslash\left\{-1\right\}
Ainsi, le domaine de dérivabilité de f est \mathbb{R}\backslash\left\{ -1 \right\}.
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in D_f, f(x)=\dfrac{\left(2x+1\right)(\sqrt{x+3})}{\left(x-1\right)^3}
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables respectivement sur I_1 et I_2 alors le domaine de dérivabilité de f= \dfrac{u}{v} est I_1\cap I_2 \backslash \left\{ v(x)=0 \right\}.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}^*, u(x)=\left(2x+1\right)(\sqrt{x+3})
- \forall x \in \left[ 1,+\infty \right[, v(x)=\left(x-1\right)^3
On a :
- u le produit d'une somme dérivable sur \left]-3,+\infty\right[ et d'une fonction affine dérivable sur \mathbb{R}, donc u est dérivable sur \left]-3,+\infty\right[.
- v la composée d'une fonction affine par un carré, donc v est dérivable sur \mathbb{R}.
Par ailleurs :
v(x)=0\Leftrightarrow \left(x-1\right)^3=0\Leftrightarrow x-1=0\Leftrightarrow x=1
Donc le domaine de dérivabilité I de f est :
I=I_1\cap I_2 = \left]-3,+\infty\right[ \cap \mathbb{R}\backslash{\left\{1\right\}}= \left]-3,+\infty\right[\backslash{\left\{1\right\}}
Ainsi, le domaine de dérivabilité de f est \left]-3,+\infty\right[\backslash\left\{1\right\}.
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in D_f, f(x)=\dfrac{\left(2x-1\right)^3}{\left(x+3\right)}
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables respectivement sur I_1 et I_2 alors le domaine de dérivabilité de f= \dfrac{u}{v} est I_1\cap I_2 \backslash \left\{ v(x)=0 \right\}.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}^*, u(x)=\left(2x-1\right)^3
- \forall x \in \left[ 1,+\infty \right[, v(x)=\left(x+3\right)
On a :
- u la composition d'une fonction affine par la fonction cube donc u est dérivable sur \mathbb{R}.
- v une fonction affine donc dérivable sur \mathbb{R}.
Par ailleurs :
v(x)=0\Leftrightarrow x+3=0\Leftrightarrow x=-3
Donc le domaine de dérivabilité I de f est :
I=I_1\cap I_2=\mathbb{R} \cap\ \mathbb{R}\backslash\left\{-3\right\}[=\mathbb{R}\backslash\left\{-3\right\}
Ainsi, le domaine de dérivabilité de f est \mathbb{R}\backslash\left\{ -3\right\}.
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in D_f, f(x)=\dfrac{\left(x-1\right)^2+\frac{1}{x}}{\sqrt{x-1}}
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables respectivement sur I_1 et I_2 alors le domaine de dérivabilité de f= \dfrac{u}{v} est I_1\cap I_2 \backslash \left\{ v(x)=0 \right\}.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}^*, u(x)=\left(x-1\right)^2+\frac{1}{x}
- \forall x \in \left[ 1,+\infty \right[, v(x)=\sqrt{x-1}
On a :
- u la somme d'une fonction affine composée par une fonction carrée, donc dérivable sur \mathbb{R} et d'une fonction inverse dérivable sur \mathbb{R}^*.
- v une fonction affine composée par une fonction racine donc dérivable sur \left]1,+\infty\right[.
Par ailleurs :
v(x)=0\Leftrightarrow x-1=0\Leftrightarrow x=1
Donc le domaine de dérivabilité I de f est :
I=I_1\cap I_2=\left]1,+\infty\right[ \cap \mathbb{R}^*[=\left]1,+\infty\right[
Ainsi, le domaine de dérivabilité de f est \left]1,+\infty\right[.