Quel est le domaine de dérivabilité de chacune des fonctions suivantes ?
Soit f la fonction définie par :
\forall x \in \mathbb{R}^+, f(x) = (6x+2)\times 3\sqrt{x}
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables respectivement sur I_1 et I_2. Alors le domaine de dérivabilité de f= u \times v est I_1\cap I_2.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}, u(x) = 6x+2
- \forall x \in \mathbb{R}^+, v(x)=3\sqrt{x}
On a :
- u est une fonction affine dérivable sur \mathbb{R}.
- v est une fonction racine dérivable sur \mathbb{R}^+_*.
L'ensemble de dérivabilité I de f est donc :
I=I_1\cap I_2=\mathbb{R} \cap\mathbb{R}^+_*=\mathbb{R}^+_*
Le domaine de dérivabilité de la fonction f est donc \mathbb{R}^+_*.
Soit f la fonction définie par :
\forall x \in \mathbb{R}^*, f(x) = (12x+3) \times \dfrac{1}{x}
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables respectivement sur I_1 et I_2. Alors le domaine de dérivabilité de f= u \times v est I_1\cap I_2.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}, u(x) = 12x+3
- \forall x \in \mathbb{R}^*, v(x)=\dfrac{1}{x}
On a :
- u est une fonction affine dérivable sur \mathbb{R}.
- v est une fonction inverse dérivable sur \mathbb{R}^*.
L'ensemble de dérivabilité I de f est donc :
I=I_1\cap I_2=\mathbb{R} \cap\mathbb{R}_*=\mathbb{R}_*
Le domaine de dérivabilité de la fonction f est donc \mathbb{R}^*.
Soit f la fonction définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = \left(\dfrac{3}{2}x+3\right)\times 2x^3
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables respectivement sur I_1 et I_2. Alors le domaine de dérivabilité de f= u \times v est I_1\cap I_2.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}, u(x) = \dfrac{3}{2}x+3
- \forall x \in \mathbb{R}, v(x)=2x^3
On a :
- u est une fonction affine dérivable sur \mathbb{R}.
- v est une fonction puissance dérivable sur \mathbb{R}.
L'ensemble de dérivabilité I de f est donc :
I=I_1\cap I_2=\mathbb{R} \cap\mathbb{R}=\mathbb{R}
Le domaine de dérivabilité de la fonction f est donc \mathbb{R}.
Soit f la fonction définie par :
\forall x \in \mathbb{R}^+_*, f(x) = \sqrt{x} \times \dfrac{7}{x}
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables respectivement sur I_1 et I_2. Alors le domaine de dérivabilité de f= u \times v est I_1\cap I_2.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}_+, u(x) = \sqrt{x}
- \forall x \in \mathbb{R}^*, v(x)=\dfrac{7}{x}
On a :
- u est une fonction racine dérivable sur \mathbb{R}_+^*.
- v est une fonction puissance dérivable sur \mathbb{R}^*.
L'ensemble de dérivabilité I de f est donc :
I=I_1\cap I_2=\mathbb{R}_+^*\cap\mathbb{R}^*=\mathbb{R}_+^*
Le domaine de dérivabilité de la fonction f est donc \mathbb{R}_+^*.
Soit f la fonction définie par :
\forall x \in \mathbb{R}_+, f(x) = (5x-1)\times (-\sqrt{x})
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables respectivement sur I_1 et I_2. Alors le domaine de dérivabilité de f= u \times v est I_1\cap I_2.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}, u(x) = 5x-1
- \forall x \in \mathbb{R}_+, v(x)=-\sqrt{x}
On a :
- u est une fonction affine dérivable sur \mathbb{R}.
- v est une fonction racine dérivable sur \mathbb{R}^*_+ (le signe négatif n'étant pas sous la racine, celui-ci ne change pas le domaine de dérivabilité de la fonction).
L'ensemble de dérivabilité I de f est donc :
I=I_1\cap I_2=\mathbb{R}\cap\mathbb{R}^*_+=\mathbb{R}_+^*
Le domaine de dérivabilité de la fonction f est donc \mathbb{R}_+^*.