Dans chacun des cas suivants, quel est le domaine de dérivabilité de la fonction f ?
Soit la fonction f telle que :
\forall x \in \mathbb{R}^+_*, f(x) =\left(2\sqrt{x}+5x\right)\left(6x^2-\dfrac{1}{x}\right)
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables respectivement sur un intervalle I_1 et I_2. Alors la fonction f=u\times v est une fonction dérivable sur I=I_1\cap I_2.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}_+, u(x) =2\sqrt{x}+5x
- \forall x \in \mathbb{R}^*, v(x)=6x^2-\dfrac{1}{x}
On a :
- u est la somme d'une fonction polynôme dérivable sur \mathbb{R} avec une fonction racine carrée dérivable sur \mathbb{R}^*_+ d'où I_1=\mathbb{R}^*_+.
- v est la somme d'une fonction polynôme dérivable sur \mathbb{R} avec une fonction inverse dérivable sur \mathbb{R}^*, d'où I_2=\mathbb{R}^*.
Le domaine de dérivabilité de la fonction f est donc :
I=I_1\cap I_2=\mathbb{R}^*_+\cap \mathbb{R}^*=\mathbb{R}^*_+
La fonction f est donc dérivable sur \mathbb{R}^*_+.
Soit la fonction f telle que :
\forall x \in \mathbb{R}_*, f(x) =(3x^3+5x)(4x+7-\dfrac{6}{x})
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables respectivement sur un intervalle I_1 et I_2. Alors la fonction f=u\times v est une fonction dérivable sur I=I_1\cap I_2.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}_+, u(x)=3x^3+5x
- \forall x \in \mathbb{R}^*, v(x)=4x+7-\dfrac{6}{x}
On a :
- u est la somme d'une fonction puissance dérivable sur \mathbb{R} avec une fonction affine dérivable sur \mathbb{R} d'où I_1=\mathbb{R}.
- v est la somme d'une fonction affine dérivable sur \mathbb{R} avec une fonction inverse dérivable sur \mathbb{R}^*, d'où I_2=\mathbb{R}^*.
Le domaine de dérivabilité de la fonction f est donc :
I=I_1\cap I_2=\mathbb{R}\cap \mathbb{R}^*=\mathbb{R}^*
La fonction f est donc dérivable sur \mathbb{R}^*.
Soit la fonction f telle que :
\forall x \in \mathbb{R}^+, f(x) =\left(-2\sqrt{x}+2x^4\right)\left(6x^2-3x+2\right)
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables respectivement sur un intervalle I_1 et I_2. Alors la fonction f=u\times v est une fonction dérivable sur I=I_1\cap I_2.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}_+, u(x)=-2\sqrt{x}+2x^4
- \forall x \in \mathbb{R}^*, v(x)=6x^2-3x+2
On a :
- u est la somme d'une fonction puissance dérivable sur \mathbb{R} avec une fonction racine dérivable sur \mathbb{R}_+^* d'où I_1=\mathbb{R}_+^*.
- v est la somme d'une fonction affine dérivable sur \mathbb{R} avec une fonction carrée dérivable sur \mathbb{R}, d'où I_2=\mathbb{R}.
Le domaine de dérivabilité de la fonction f est donc :
I=I_1\cap I_2=\mathbb{R}_+^*\cap \mathbb{R}=\mathbb{R}_+^*
La fonction f est donc dérivable sur \mathbb{R}^*_+.
Soit la fonction f telle que :
\forall x \in \mathbb{R}^+_*, f(x) =\left(\sqrt{x}-\dfrac{2}{x}\right)\left(3x^3+4x-8\right)
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables respectivement sur un intervalle I_1 et I_2. Alors la fonction f=u\times v est une fonction dérivable sur I=I_1\cap I_2.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}_+^*, u(x)=\sqrt{x}-\dfrac{2}{x}
- \forall x \in \mathbb{R}, v(x)=3x^3+4x-8
On a :
- u est la somme d'une fonction racine dérivable sur \mathbb{R}_+^* avec une fonction inverse dérivable sur \mathbb{R}^* d'où I_1=\mathbb{R}_+^*.
- v est la somme d'une fonction affine dérivable sur \mathbb{R} avec une fonction cube dérivable sur \mathbb{R}, d'où I_2=\mathbb{R}.
Le domaine de dérivabilité de la fonction f est donc :
I=I_1\cap I_2=\mathbb{R}_+^*\cap \mathbb{R}=\mathbb{R}_+^*
La fonction f est donc dérivable sur \mathbb{R}^*_+.
Soit la fonction f telle que :
\forall x \in \mathbb{R}^+_*, f(x) =\left(5x^3-6x+2\right)\left(2x^4-\dfrac{1}{x}\right)
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables respectivement sur un intervalle I_1 et I_2. Alors la fonction f=u\times v est une fonction dérivable sur I=I_1\cap I_2.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}, u(x)=5x^3-6x+2
- \forall x \in \mathbb{R}^*, v(x)=2x^4-\dfrac{1}{x}
On a :
- u est la somme d'une fonction puissance dérivable sur \mathbb{R} avec une fonction affine dérivable sur \mathbb{R} d'où I_1=\mathbb{R}.
- v est la somme d'une fonction puissance dérivable sur \mathbb{R} avec une fonction inverse dérivable sur \mathbb{R}^*, d'où I_2=\mathbb{R}^*.
Le domaine de dérivabilité de la fonction f est donc :
I=I_1\cap I_2=\mathbb{R}\cap \mathbb{R}^*=\mathbb{R}^*
La fonction f est donc dérivable sur \mathbb{R}^*.