Quelle est la dérivée de chacune des fonctions suivantes ?
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}^+, \text{ } f(x) = (6x+2)\times 3\sqrt{x}
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur l'intervalle I. Alors la fonction f=u\times v est une fonction dérivable sur I et f'=u'\times v+u\times v'.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}, u(x) = 6x+2
- \forall x \in \mathbb{R}^+, v(x)=3\sqrt{x}
On a :
- u dérivable et \forall x \in \mathbb{R}, u'(x)=6
- v dérivable et \forall x \in \mathbb{R}^+_*, v'(x)=\dfrac{3}{2\sqrt{x}}
D'où f est dérivable sur \mathbb{R}^+_* et \forall x \in \mathbb{R}^+_* :
f'(x)=6\times3\sqrt{x}+\dfrac{3}{2\sqrt{x}}\times (6x+2)
f'(x)=18\sqrt{x}+\dfrac{3(6x+2)}{2\sqrt{x}}
f'(x)=\dfrac{(18\sqrt{x})\times 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}+\dfrac{18x+6}{2\sqrt{x}}
f'(x)=\dfrac{36x+18x+6}{2\sqrt{x}}
f'(x)=\dfrac{54x+6}{2\sqrt{x}}
f'(x)=\dfrac{27x+3}{\sqrt{x}}
On a donc \forall x \in \mathbb{R}^+_*, f'(x)=\dfrac{27x+3}{\sqrt{x}}.
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}^*, \text{ } f(x) = (12x+3) \times \dfrac{1}{x}
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur l'intervalle I. Alors la fonction f=u\times v est une fonction dérivable sur I et f'=u'\times v+u\times v'.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}, u(x) = 12x+3
- \forall x \in \mathbb{R}_*, v(x)=\dfrac{1}{x}
On a :
- u dérivable et \forall x \in \mathbb{R}, u'(x)=12.
- v dérivable et \forall x \in \mathbb{R}_*, v'(x)=\dfrac{-1}{x^2}.
D'où f est dérivable sur \mathbb{R}_* et \forall x \in \mathbb{R}_* :
f'(x)=12\times\dfrac{1}{x}+(-\dfrac{1}{x^2}\times(12x+3)
f'(x)=\dfrac{12x}{x^2}-\dfrac{12x+3}{x^2}
f'(x)=\dfrac{-3}{x^2}
On a donc \forall x \in \mathbb{R}^*, f(x)=-\dfrac{3}{x^2}.
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, \text{ } f(x) = \left( \dfrac{3}{2}x+3 \right)\times 2x^3
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur l'intervalle I. Alors la fonction f=u\times v est une fonction dérivable sur I et f'=u'\times v+u\times v'.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}, u(x)=\dfrac{3}{2}x+3
- \forall x \in \mathbb{R}, v(x) =2x^3
On a :
- u est une fonction affine donc dérivable et \forall x \in \mathbb{R}, u'(x)=\dfrac{3}{2}.
- v est une fonction puissance donc dérivable et \forall x \in \mathbb{R}, v'(x)=6x^2.
D'où f est dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R} :
f'(x)=\dfrac{3}{2}\times2x^3+(\dfrac{3}{2}x+3)\times6x^2
f'(x)=3x^3+9x^3+18x^2
f'(x)=12x^3+18x^2
On a donc \forall x \in\mathbb{R}, f'(x)=12x^3+18x^2.
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}^+_*, \text{ } f(x) = \sqrt{x} \times \dfrac{7}{x}
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur l'intervalle I. Alors la fonction f=u\times v est une fonction dérivable sur I et f'=u'\times v+u\times v'.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}_+, u(x)=\sqrt{x}
- \forall x \in \mathbb{R}^*, \(v(x) =\dfrac{7}{x})
On a :
- u est une fonction racine donc dérivable et \forall x \in \mathbb{R}_+^*, u'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}.
- v est une fonction puissance donc dérivable et \forall x \in \mathbb{R}, v'(x)=\dfrac{-7}{x^2}.
D'où f est dérivable sur \mathbb{R}_+^* et \forall x \in \mathbb{R}_+^* :
f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\times\dfrac{7}{x}+\sqrt{x}\times(-\dfrac{7}{x^2})
f'(x)=\dfrac{7\sqrt{x}}{2x^2}-\dfrac{14\sqrt{x}}{2x^2}
f'(x)=-\dfrac{7\sqrt{x}}{2x^2}
On a donc \forall x \in \mathbb{R}^*_+, f'(x)=-\dfrac{7\sqrt{x}}{2x^2}.
Soit la fonction f telle que :
\forall x \in \mathbb{R}_+, \text{ } f(x) = (5x-1)\times (-\sqrt{x})
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur l'intervalle I. Alors la fonction f=u\times v est une fonction dérivable sur I et f'=u'\times v+u\times v'.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}, u(x)=5x-1
- \forall x \in \mathbb{R}_+, \(v(x) =-\sqrt{x})
On a :
- u est une fonction affine donc dérivable et \forall x \in \mathbb{R}, u'(x)=5.
- v est une fonction racine donc dérivable et \forall x \in \mathbb{R}_+^*, v'(x)=\dfrac{-1}{2\sqrt{x}}.
D'où, f est dérivable sur \mathbb{R}_+^* et \forall x \in \mathbb{R}_+^* :
f'(x)=5\times(-\sqrt{x})+(5x-1)(\dfrac{-1}{2\sqrt{x}})
f'(x)=-5\sqrt{x}-\dfrac{5x-1}{2\sqrt{x}}
f'(x)=\dfrac{-10x}{2\sqrt{x}}-\dfrac{5x-1}{2\sqrt{x}}
f'(x)=\dfrac{-15x+1}{2\sqrt{x}}
On a donc \forall x \in \mathbb{R}^*_+, f'(x)=\dfrac{-15x+1}{2\sqrt{x}}.