Dans chacun des cas suivants, calculer la fonction dérivée de f.
Soit f la fonction définie par :
\forall x \in \mathbb{R}^+_*, f(x)=x^4-2x^3+3x^2-x+1+3\sqrt{x}-\dfrac{2}{x}
Soient u, v et w trois fonctions définies et dérivables sur un intervalle I \in \mathbb{R}. Alors f=u+v+w est dérivable sur I et f'=u'+v'+w'.
Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}^+_*, f(x)=x^4-2x^3+3x^2-x+1+3\sqrt{x}-\dfrac{2}{x}
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}, u(x)=x^4-2x^3+3x^2-x+1
- \forall x \in \mathbb{R}^+, v(x)=3\sqrt{x}
- \forall x \in \mathbb{R}^*, w(x)=-\dfrac{2}{x}
On a :
- u est dérivable et \forall x \in \mathbb{R}, u'(x)=4x^3-6x^2+6x-1.
- v est dérivable et \forall x \in \mathbb{R}^+_*.
- v'(x)=\dfrac{3}{2\sqrt{x}}w est dérivable et \forall x \in \mathbb{R}^*, w'(x)=\dfrac{2}{x^2}.
Donc f est dérivable sur \mathbb{R}^+_*.
On a donc \forall x \in \mathbb{R}^+_*, f'(x)=4x^3-6x^2+6x-1+\dfrac{3}{2\sqrt{x}}+\dfrac{2}{x^2}.
Soit f la fonction définie par :
\forall x \in \mathbb{R}^+, f(x)=3x^5-2x^2+\sqrt{x}
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I \in \mathbb{R}. Alors f=u+v est dérivable sur I et f'=u'+v'.
Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}^+, f(x)=3x^5-2x^2+\sqrt{x}
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}, u(x)=3x^5-2x^2
- \forall x \in \mathbb{R}^+, v(x)=\sqrt{x}
On a :
- u est dérivable et \forall x \in \mathbb{R}, u'(x)=15x^4-4x.
- v est dérivable et \forall x \in \mathbb{R}^+_*, v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}.
Donc f est dérivable sur \mathbb{R}^+_*.
On a donc \forall x \in \mathbb{R}^+_*, f'(x)= 15x^4-4x+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}.
Soit f la fonction définie par :
\forall x \in \mathbb{R}_*, f(x)=x^3-4x^2+\dfrac{4}{x}
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I \in \mathbb{R}. Alors f=u+v est dérivable sur I et f'=u'+v'.
Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}_*, f(x)=x^3-4x^2+\dfrac{4}{x}
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R} , u(x)=x^3-4x^2
- \forall x \in \mathbb{R}_* , v(x)=\dfrac{4}{x}
On a :
- u est dérivable et \forall x \in \mathbb{R}, u'(x)=3x^2-8x.
- v est dérivable et \forall x \in \mathbb{R}_*, v'(x)=-\dfrac{4}{x^2}.
Donc f est dérivable sur \mathbb{R}_*.
On a donc \forall x \in \mathbb{R}_*, f'(x)=3x^2-8x-\dfrac{4}{x^2}.
Soit f la fonction définie par :
\forall x \in \mathbb{R}^+_*, f(x)=5\sqrt{x}-\dfrac{3}{x}
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I \in \mathbb{R}. Alors f=u+v est dérivable sur I et f'=u'+v'.
Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}^+_*, f(x)=5\sqrt{x}-\dfrac{3}{x}
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}^+, u(x)=5\sqrt{x}
- \forall x \in \mathbb{R}_*, v(x)=\dfrac{-3}{x}
On a :
- u est dérivable et \forall x \in \mathbb{R}^+_*, u'(x)=\dfrac{5}{2\sqrt{x}}.
- v est dérivable et \forall x \in \mathbb{R}_*, v'(x)=-\dfrac{-3}{x^2}.
Donc f est dérivable sur \mathbb{R}^+_*.
On a donc \forall x \in \mathbb{R}^+_*, f'(x)=\dfrac{5}{2\sqrt{x}}+\dfrac{3}{x^2}.
Soit f la fonction définie par :
\forall x \in \mathbb{R}^+_*, f(x)=-x^3+7x^2-x-6\sqrt{x}+\dfrac{3}{x}
Soient u, v et w trois fonctions définies et dérivables sur un intervalle I \in \mathbb{R}. Alors f=u+v+w est dérivable sur \mathbb{R} et f'=u'+v'+w'.
Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}^+_*, f(x)=-x^3+7x^2-x-6\sqrt{x}+\dfrac{3}{x}.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}, u(x)=x^3+7x^2-x
- \forall x \in \mathbb{R}^+, v(x)=-6\sqrt{x}
- \forall x \in \mathbb{R}^*, w(x)=\dfrac{3}{x}
On a :
- u est dérivable et \forall x \in \mathbb{R}, u'(x)=-3x^2+14x-1.
- v est dérivable et \forall x \in \mathbb{R}^+_*, v'(x)=-\dfrac{6}{2\sqrt{x}}.
- w est dérivable et \forall x \in \mathbb{R}^*, w'(x)=-\dfrac{3}{x^2}.
Donc f est dérivable sur \mathbb{R}^+_*.
On a donc f'(x)=-3x^2+14x-1-\dfrac{3}{\sqrt{x}}-\dfrac{3}{x^2}.