Soient g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R}, a et b deux nombres réels.
Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que pour tout x\in I, ax+b\in J.
Soit la fonction f:x\mapsto g(ax+b) définie sur I.
Quelles sont les deux affirmations vraies concernant la fonction f ?
- f est une fonction affine : la fonction x \longmapsto ax + b est une fonction affine. La fonction f est la composée d'une fonction affine par une fonction quelconque g. On ne peut donc pas affirmer qu'elle soit affine. L'affirmation est fausse.
- f est la composée d'une fonction affine par la fonction g. L'affirmation est vraie.
- f est la composée de la fonction g par une fonction affine : il ne faut pas inverser l'ordre des fonctions. Ici, f est la composée d'une fonction affine par la fonction g. L'affirmation est fausse.
- f est la composée d'une fonction affine suivie de la fonction g : c'est une autre manière de dire que f est la composée d'une fonction affine par la fonction g. L'affirmation est vraie.
Soient g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R}, a et b deux nombres réels.
Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que pour tout x\in I, ax+b\in J.
Vrai ou faux ? La fonction f:x\mapsto g(ax+b) est dérivable sur I.
On a f : x \longmapsto g(ax+b).
g étant dérivable sur J, et comme \forall x \in I, ax+b \in J, f est dérivable pour tout x \in I.
L'affirmation est donc vraie.
Soit g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R}, a et b deux nombres réels.
Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que pour tout x\in I, ax+b\in J.
La fonction f:x\mapsto g(ax+b) est dérivable sur I.
Quelle est l'expression de la dérivée f' de f ?
La formule de dérivation d'une fonction affine composée par une fonction quelconque est la suivante :
\forall x \in I, f'(x) = ag'(ax+b)
Soit g la fonction définie et dérivable sur \mathbb{R}, telle que \forall x \in \mathbb{R}, g(x) = -3x^2.
La fonction f:x\mapsto g(3x-5) est définie et dérivable sur \mathbb{R}.
Quelle est l'expression de la dérivée f' de f ?
La formule de dérivation d'une fonction affine composée par une fonction quelconque est la suivante :
f'(x) = ag'(ax+b)
Ici, on a donc :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = 3g'(3x-5)
Ici, on a \forall x \in \mathbb{R}, g'(x) = -6x.
D'où :
\forall x \in \mathbb{R}
f'(x) = 3\times (-6)(3x-5)\\\Leftrightarrow f'(x) = -18(3x-5)\\\Leftrightarrow f'(x) = -54x + 90\\