DérivationCours

I

Point de vue local

A

Taux de variation

Taux de variation

Soit f une fonction définie sur un intervalle I. a et b étant deux nombres réels distincts de I, on appelle taux de variation (ou taux d'accroissement) de la fonction f entre a et b le nombre réel :

 \tau_{f,a,b}=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}

Avec les notations de la définition, appelons A (resp. B ) le point d'abscisse a (resp. b) de la courbe de f.

Alors, \tau_{f,a,b}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}.

Le taux de variation est donc le coefficient directeur de la sécante (AB) qui coupe la courbe représentative de f en A et en B.

-

1. En posant b = a + h, le taux de variation devient : 

\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}

2. En cinématique, la variable est le temps t et on considère la fonction f qui donne la distance f(t) parcourue par un mobile au bout d'un temps t.

  • f(a + h)-f(a) est donc la distance parcourue par le mobile entre les instants a et a+h.
  • \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} est la vitesse moyenne du mobile entre les instants a et a+h.

On considère la fonction carrée. Notons-la f.

Le taux de variation de f entre 1 et 3 est :

\tau_{f,1,3}=\dfrac{f(3)-f(1)}{3−1}

\tau_{f,1,3}=\dfrac{3^2−1^2}{3−1}

\tau_{f,1,3}=\dfrac{9−1}{3−1}

\tau_{f,1,3}=\dfrac{8}{2}

\tau_{f,1,3}=4

B

Nombre dérivé

Nombre dérivé

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a\in I.

Si le quotient \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} tend vers un réel lorsque h tend vers 0, on dit que la fonction f est dérivable en a et ce nombre s'appelle le nombre dérivé de f en a

On le note f'(a) et on écrit alors :

 f'(a)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}

Autrement dit, f est dérivable en a si, et seulement si, \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\in\mathbb{R}, ou \lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\in\mathbb{R}, c'est-à-dire si cette limite est finie.

En cinématique, si la variable est le temps t et si la fonction f donne la distance f(t) parcourue par un mobile au bout d'un temps t, le nombre dérivé de f en a est la limite des vitesses moyennes entre les instants a et a+h lorsque h se rapproche de 0 : c'est la vitesse instantanée du mobile à l'instant t=a.

Ainsi, f'(a) est la vitesse instantanée du mobile à l'instant t = a.

f'(a) est le coefficient directeur de la droite qui est à la position « limite » de toutes les sécantes (AM) lorsque M se rapproche de A.

On peut écrire un programme permettant d'écrire la liste des coefficients directeurs des sécantes pour un pas donné.

Voici un exemple de programme écrit en Python, pour la fonction carrée.

-

En prenant comme valeurs a=1, h=0,5 et p=0,01, on obtient le résultat suivant :

-

Les taux de variation semblent de plus en plus proches de la valeur 2.

Considérons une fonction affine f d'expression f(x)=mx+p.

Soit un réel a et un réel h non nul.

Alors, le taux de variation de f entre a et a+h est :

\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{m(a+h)+p-(ma+p)}{h}=\dfrac{mh}{h}=m

La fonction f est donc dérivable en a et f'(a)=m.

De plus, ceci est valable quel que soit le nombre réel a.

Considérons la fonction g définie sur \mathbb{R} par g(x)=−3x^2+2x+1 et prenons a=−3.

Soit h un réel non nul.

Alors le taux de variation de g entre a et a+h est :

\tau_{g,−3,−3+h}=\dfrac{g(−3+h)-g(−3)}{h}

\tau_{g,−3,−3+h}=\dfrac{−3(−3+h)^2+2(−3+h)+1-\left[−3\times (−3)^2+2\times (−3)+1\right]}{h}

\tau_{g,−3,−3+h}=\dfrac{−3\left( 9−6h+h^2\right)−6+2h+1-(−27−6+1)}{h}

\tau_{g,−3,−3+h}=\dfrac{−27+18h−3h^2−6+2h+1+27+6−1}{h}

\tau_{g,−3,−3+h}=\dfrac{−3h^2+20h}{h}

\tau_{g,−3,−3+h}=−3h+20

Lorsque h se rapproche de 0, −3h+20 se rapproche de 20.

Ainsi, la fonction g est dérivable en −3 et g'(−3)=20.

Il existe des fonctions non dérivables sur leur ensemble de définition.

La fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0.

Notons f la fonction racine carrée.

Soit h un réel strictement positif.

\tau_{f,0,h}=\dfrac{f(h)-f(0)}{h}

\tau_{f,0,h}=\dfrac{\sqrt{h}-\sqrt{0}}{h}

\tau_{f,0,h}=\dfrac{\sqrt{h}}{h}

\tau_{f,0,h}=\dfrac{1}{\sqrt{h}}

Or, lorsque h se rapproche de 0, \sqrt{h} s'en rapproche également et \tau_{f,0,h} tend vers +\infty.

\tau_{f,0,h} ne se rapproche pas d'un nombre réel.

La fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0.

Notons à nouveau f la fonction racine carrée.

Soit h un réel strictement positif et  M  le point de la courbe de f d'abscisse h.

Les sécantes se rapprochent de la droite d'équation x=0 lorsque le point  M  se rapproche de l'origine du repère.

La droite « limite » est donc l'axe des ordonnées et n'a pas de coefficient directeur.

Donc f n'est pas dérivable en 0.

-
C

Tangente à la courbe d'une fonction en un point

Tangente

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et dérivable en a\in I.

Avec les notations précédentes, lorsque M se rapproche de A, les sécantes (AM) se rapprochent d'une droite « limite » dont le coefficient directeur est f'(a) (limite des coefficients directeurs des sécantes).

Cette droite « limite » qui passe par A et qui a pour coefficient directeur f'(a) est appelée la tangente à la courbe représentative de f au point A.

Avec les notations précédentes, une équation de la tangente T_a à la courbe de f au point a est :

y=f'(a)(x-a)+f(a)

La droite T_a passe par le point A\left( a,f(a)\right) et a pour coefficient directeur f'(a).

Ainsi T_a admet une équation du type y=f'(a)x+p.

Comme A\in T_a, alors y_A=f'(a)x_A+p,

soit f(a)=f'(a)\times a+p.

Ainsi, p=f(a)-af'(a).

Une équation de T_a est donc :

y=f'(a)x+f(a)-af'(a),

ou encore y=f'(a)(x-a)+f(a).

Considérons la fonction g définie sur \mathbb{R} par g(x)=−3x^2+2x+1 et prenons a=−3.

D'après l'exemple précédent, on sait que g'(−3)=20.

Une équation de la tangente, T_{−3}, à la courbe de g au point d'abscisse −3 est donc :

y=20(x-(−3))+g(−3)

Or, g(−3)=−3\times (−3)^2+2\times (−3)+1=−32.

Ainsi, T_{−3} a pour équation y=20(x+3)−32.

On parle aussi de pente pour le coefficient directeur d'une droite.

Ainsi, f'(a) est la pente de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a.

II

Point de vue global

A

Fonction dérivable, fonction dérivée

Fonction dérivée

Soit f une fonction définie sur un intervalle I

On dit que la fonction f est dérivable sur l'intervalle I lorsque f est dérivable en tout nombre réel de l'intervalle I.

La fonction, qui à tout réel x associe le nombre dérivé de f en x, est appelée la fonction dérivée de f.

Elle se note f'.

La notation f' est la notation dite « de Lagrange ».

Il existe d'autres notations :

  • celle de Leibniz : \dfrac{\text{d}f}{\text{d}x} ou \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} avec y=f(x) ;
  • celle de Newton : \dot{f} ou \dot{y} avec y=f(x).

 

Les notations de Leibniz et de Newton sont plus utilisées en physique.

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=(1+x)^2.

Soit a un réel quelconque et h un nombre réel non nul.

\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}

\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{(1+a+h)^2-(1+a)^2}{h}

\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{1+2a+2h+2ah+a^2+h^2-\left( 1+2a+a^2\right)}{h}

\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{2h+2ah+h^2}{h}

\tau_{f,a,a+h}=2+2a+h

Lorsque h tend vers 0, \tau_{f,a,a+h} tend vers 2+2a.

Donc f'(a)=2+2a.

La fonction f est donc dérivable sur \mathbb{R} et la fonction f' est la fonction définie sur \mathbb{R} par f'(x)=2+2x.

B

Fonctions dérivées des fonctions usuelles

Voici des expressions des fonctions dérivées de quelques fonctions usuelles.

On remarquera que l'ensemble de définition d'une fonction n'est pas nécessairement égal à son ensemble de dérivabilité.

Ensemble de définition de f f(x) f'(x) Ensemble de définition de f'
\mathbb{R} k (constante) 0 \mathbb{R}
\mathbb{R} mx+p m \mathbb{R}
[0;+\infty[ \sqrt{x} \dfrac{1}{2\sqrt{x}} ]0;+\infty[
\mathbb{R} x^2 2x \mathbb{R}
\mathbb{R} x^3 3x^2 \mathbb{R}
\mathbb{R}^* \dfrac{1}{x} \dfrac{−1}{x^2} \mathbb{R}^{\star}
  • Notons f la fonction carrée.

Soient a un réel quelconque et h un réel non nul.

Le taux de variation de f entre a et a+h est :

\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}

\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{(a+h)^2-a^2}{h}

\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h}

\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{2ah+h^2}{h}

\tau_{f,a,a+h}=2a+h

Lorsque h tend vers 0, \tau_{f,a,a+h} tend donc vers 2a.

Ainsi, f est bien dérivable sur \mathbb{R}, et pour tout réel x, f'(x)=2x.

  • Notons g la fonction inverse.

Soit a un réel non nul et h un réel non nul, tel que a+h\neq 0.

Le taux de variation de g entre a et a+h est :

\tau_{g,a,a+h}=\dfrac{g(a+h)-g(a)}{h}

\tau_{g,a,a+h}=\dfrac{\dfrac{1}{a+h}-\dfrac{1}{a}}{h}

\tau_{g,a,a+h}=\dfrac{\dfrac{a}{a(a+h)}-\dfrac{a+h}{a(a+h)}}{h}

\tau_{g,a,a+h}=\dfrac{\dfrac{a-a-h}{a(a+h)}}{h}

\tau_{g,a,a+h}=\dfrac{\dfrac{-h}{a(a+h)}}{h}

\tau_{g,a,a+h}=\dfrac{−1}{a(a+h)}

Lorsque h tend vers 0, \tau_{g,a,a+h} tend donc vers \dfrac{−1}{a^2}.

Ainsi, g est bien dérivable sur ]-\infty;0[ et sur ]0;+\infty[, et pour tout réel x\neq 0, g'(x)=\dfrac{−1}{x^2}.

Notons f la fonction carrée.

f est dérivable sur \mathbb{R} et pour tout réel xf'(x)=2x.

En particulier f'(10)=2\times 10=20 et f'(−5)=2\times (−5)=−10.

C

Fonctions dérivées et opérations

Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I de \mathbb{R}.

Alors f=u+v est dérivable sur I et f'=u'+v'.

Soit f la fonction définie sur [0;+\infty par f(x)=x^2+\sqrt{x}.

f=u+v, avec pour tout x\geq 0, u(x)=x^2 et v(x)=\sqrt{x}.

Comme somme de deux fonctions dérivables sur ]0;+∞[,

f est dérivable sur ]0;+∞[ et f'=u'+v'.

Or, pour tout x>0, u'(x)=2x et v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}.

Pour tout x>0, f'(x)=2x+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}.

Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I de \mathbb{R}.

Alors f=u\times v est dérivable sur I  et f'=u'v+uv'.

Soit a un réel quelconque de l'intervalle I et h un réel non nul tel que a+h\in I.

Alors \tau_{f,a,a+h}=\dfrac{(uv)(a+h)-(uv)(a)}{h}.

\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{u(a+h)v(a+h)-u(a)v(a)}{h}

\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{u(a+h)v(a+h)-u(a)v(a+h)+u(a)v(a+h)-u(a)v(a)}{h}

\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{[u(a+h)-u(a)]v(a+h)-u(a)[v(a+h)-v(a)]}{h}

\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}\times v(a+h)-u(a)\times \dfrac{v(a+h)-v(a)}{h}

Comme u et v sont dérivables en a, \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}=u'(a) et \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{v(a+h)-v(a)}{h}=v'(a).

En admettant que lorsque h tend vers 0, v(a+h) tend vers v(a), on obtient :

\lim\limits_{h\to 0}\tau_{f,a,a+h}=u'(a)v(a)+u(a)v'(a)

Ainsi f est dérivable en a et f'(a)=u'(a)v(a)+u(a)v'(a).

On obtient bien f'=u'v+uv'.

Soit f la fonction définie sur [0;+∞[ par f(x)=x^2\sqrt{x}.

f=u\times v, avec pour tout x\geq 0, u(x)=x^2 et v(x)=\sqrt{x}.

Comme produit de deux fonctions dérivables sur ]0;+∞[,

f est dérivable sur ]0;+∞[ et f'=u'v+uv'.

Or, pour tout x>0, u'(x)=2x et v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}.

Pour tout x>0, f'(x)=2x\sqrt{x}+x^2\times \dfrac{1}{2\sqrt{x}}.

Soit v une fonction dérivable sur un intervalle I de \mathbb{R}.

Si v ne s'annule pas sur I, alors f=\dfrac{1}{v} est dérivable sur I  et f'=\dfrac{-v'}{v^2}.

Soit f la fonction définie sur ]0;+∞[ par f(x)=\dfrac{1}{x^2}.

f=\dfrac{1}{v}, avec, pour tout x>0, v(x)=x^2.

v est dérivable sur ]0;+∞[ et ne s'annule pas sur ]0;+∞[.

Donc f est dérivable sur ]0;+∞[ et f'=\dfrac{-v'}{v^2}.

Or, pour tout x>0, v'(x)=2x.

Donc pour tout x>0, f'(x)=\dfrac{−2x}{\left(x^2\right)^2}=\dfrac{−2x}{x^4}=\dfrac{−2}{x^3}.

Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I  de \mathbb{R}.

Si v ne s'annule pas sur I, alors f=\dfrac{u}{v} est dérivable sur I  et f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}.

Soit f la fonction définie sur ]0;+\infty[ par f(x)=\dfrac{x^2+1}{x}.

f=\dfrac{u}{v}, avec pour tout x>0, u(x)=x^2+1 et v(x)=x.

De plus, pour tout x\in]0;+\infty[, v(x)\neq 0.

Comme quotient de deux fonctions dérivables sur ]0;+\infty[ telles que la deuxième fonction ne s'annule pas sur ]0;+\infty[, f est dérivable sur ]0;+\infty[ et f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}.

Or, pour tout x>0, u'(x)=2x et v'(x)=1.

Pour tout x>0, f'(x)=\dfrac{2x\times x-\left(x^2+1\right)\times 1}{x^2}=\dfrac{x^2−1}{x^2}.

Soit n\in\mathbb{Z}. Notons f la fonction x\mapsto x^n.

  • Si n\geq 0, alors f est dérivable sur \mathbb{R}.
  • Si n<0, alors f est dérivable sur ]-\infty;0[ et sur ]0;+\infty[.

 

Dans chacun des cas, pour tout réel x pour lequel f est dérivable, on a :

f'(x)=nx^{n−1}

En prenant n=−1, on a f(x)=x^{−1}=\dfrac{1}{x}.

La fonction f est donc dérivable sur ]-\infty;0[ et sur ]0;+\infty[ et pour tout réel x\neq 0, f'(x)=(−1)\times x^{−1−1}=−1\times x^{−2}=\dfrac{−1}{x^2}.

On retrouve le résultat de la partie précédente.

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=x^{10}.

La fonction f est dérivable sur \mathbb{R} et, pour tout réel x, f'(x)=10x^9.

Soit g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R}, a et b deux nombres réels.

Soit I  un intervalle de \mathbb{R} tel que pour tout x\in I, ax+b\in J.

Alors la fonction f:x\mapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I, f'(x)=a\times g'(ax+b).

On dit que la fonction f est la composée de la fonction x\mapsto ax+b par (ou « suivie de ») la fonction g.

Soit f la fonction définie sur \left[\dfrac{2}{3};+\infty\right[ par f(x)=\sqrt{3x−2}.

Pour tout x∈\left[\dfrac{2}{3};+\infty\right[, f(x)=g(ax+b),

avec g la fonction racine carrée, a=3  et b=−2.

Pour tout x\in\left]\dfrac{2}{3};+\infty\right[, 3a−2\in]0;+\infty[ et g est dérivable sur ]0;+\infty[.

De plus, pour tout x>0, g'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}.

Donc f est dérivable sur \left]\dfrac{2}{3};+\infty\right[ et, pour tout x>\dfrac{2}{3},
f'(x)=3\times \dfrac{1}{2\sqrt{3x−2}}=\dfrac{3}{2\sqrt{3x−2}}.

D

La fonction valeur absolue

Fonction valeur absolue

On appelle fonction valeur absolue la fonction x\mapsto |x|,où |x|=\begin{cases}x\text{ si }x\geq 0\\-x\text{ sinon}\end{cases}

La valeur absolue est définie sur \mathbb{R}.

Elle est dérivable sur ]-\infty;0[ et sur ]0;+\infty[, mais pas en 0.

De plus, pour tout x<0, f'(x)=−1 et, pour tout x>0, f'(x)=1.

-

Notons f la fonction valeur absolue.

  • Montrons algébriquement que la fonction f n'est pas dérivable en 0.

Nous allons montrer que le taux de variation de la fonction f entre 0 et h n'admet pas de limite lorsque h tend vers 0.

Prenons a=0 et h>0.

Alors \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{|h|-|0|}{h}=\dfrac{h}{h}=1.

Donc \lim\limits_{{h\to 0}\atop{h \gt 0}}\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=1.

Prenons a=0 et h<0.

Alors \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{|h|-|0|}{h}=\dfrac{-h}{h}=−1.

Donc \lim\limits_{{h\to 0}\atop{h \lt 0}}\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=−1.

Ainsi \lim\limits_{{h\to 0}\atop{h \gt 0}}\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}\neq \lim\limits_{{h\to 0}\atop{h \lt 0}}\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}.

Le taux de variation de la fonction f entre 0 et h n'admet donc pas de limite lorsque h tend vers 0 puisque les limites obtenues avec h>0 et h<0 ne sont pas les mêmes.

La fonction valeur absolue n'est effectivement pas dérivable en 0.

  • On retrouve le résultat graphiquement :

Pour a>0, la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a a pour coefficient directeur 1.

Alors que pour a<0, la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a a pour coefficient directeur −1.

Au point d'abscisse 0 (c'est-à-dire l'origine du repère), la courbe représentative de f ne peut donc pas admettre de tangente.