DérivationCours

I

La dérivation en un point

Le nombre dérivé d'une fonction en un réel se détermine par le calcul (à partir d'un taux de variation « limite ») ou graphiquement (a l'aide de la tangente à la courbe en ce point).

A

Le nombre dérivé d'une fonction en un point et le taux de variation

Lorsqu'il existe, le nombre dérivé d'une fonction en un point correspond à un taux de variation « limite ».

Taux de variation d'une fonction entre deux nombres

Soit f une fonction définie sur un intervalle I. a et b étant deux nombres réels distincts de I, on appelle taux de variation (ou taux d'accroissement) de la fonction f entre a et b le nombre réel :

 \tau_{f,a,b}=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}

On considère la fonction carrée notée f. Le taux de variation de f entre 1 et 3 est :

\tau_{f,1{,}3}=\dfrac{f(3)-f(1)}{3−1}

\tau_{f,1{,}3}=\dfrac{3^2−1^2}{3−1}

\tau_{f,1{,}3}=\dfrac{9−1}{3−1}

\tau_{f,1{,}3}=\dfrac{8}{2}

\tau_{f,1{,}3}=4

En posant b = a + h, le taux de variation devient : 

\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}

Fonction dérivable en un point et nombre dérivé associé

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a\in I. On dit que f est dérivable en a si et seulement si il existe un réel \ell  tel que :

\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\ell

On a alors f'(a)=\ell

On a également f dérivable en a si et seulement s'il existe un réel \ell  tel que :

\lim\limits_{ x \to a } \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=\ell

f'(a)  s'appelle le nombre dérivé de f en a.

Il existe des fonctions non dérivables sur leur ensemble de définition.

Soit f la fonction racine carrée et soit h un réel strictement positif. Alors le taux de variation de f entre 0 et 0+h est :

\tau_{f,0,h}=\dfrac{f(h)-f(0)}{h}

\tau_{f,0,h}=\dfrac{\sqrt{h}-\sqrt{0}}{h}

\tau_{f,0,h}=\dfrac{\sqrt{h}}{h}

\tau_{f,0,h}=\dfrac{1}{\sqrt{h}}

Or, lorsque h se rapproche de 0, \sqrt{h} s'en rapproche également et \tau_{f,0,h} tend vers +\infty.

\tau_{f,0,h} ne se rapproche pas d'un nombre réel, donc la fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0.

Considérons une fonction affine f d'expression f(x)=mx+p. Alors, quel que soit le réel a, la fonction f est dérivable en a et f'(a)=m.

Soit un réel a quelconque et soit un réel h non nul. Alors, le taux de variation de f entre a et a+h est :

\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{m(a+h)+p-(ma+p)}{h}=\dfrac{mh}{h}=m

La fonction f est donc dérivable en a et f'(a)=m

B

Le nombre dérivé en un point et la tangente à la courbe représentative de la fonction

Lorsqu'il existe, le nombre dérivé de f au point d'abscisse a, noté f'(a), est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a

Soir f une fonction et C_f  sa courbe représentative. On appelle  A (resp. B ) le point d'abscisse a (resp. b) de C_f. Alors : 

\tau_{f,a,b}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}

Le taux de variation est le coefficient directeur de la sécante  (AB) qui coupe la courbe représentative de f en A et en B.

-

Tangente à la courbe représentative d'une fonction en un point

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et dérivable en a\in I. On considère le point A de coordonnées (a;f(a)) et un autre point M de la courbe de f.

Lorsque M se rapproche de A, les sécantes (AM) se rapprochent d'une droite « limite » dont le coefficient directeur est f'(a) (limite des coefficients directeurs des sécantes).

Cette droite « limite » qui passe par A et qui a pour coefficient directeur f'(a) est appelée la tangente à la courbe représentative de f au point A.

Soit f la fonction carrée et A le point d'abscisse 1 de la courbe représentative de f.

La droite à la position « limite » de toutes les sécantes (AM) lorsque M se rapproche de A a pour coefficient directeur 2.

On a donc :

f'(1)=2

-

On peut écrire un programme permettant d'écrire la liste des coefficients directeurs des sécantes pour un pas donné.

Voici un exemple de programme écrit en Python, pour la fonction carrée.

-

En prenant comme valeurs a=1, h=0{,}5 et p=0{,}01, on obtient le résultat suivant :

-

Les coefficients directeurs semblent de plus en plus proches de la valeur 2.

Il existe des fonctions non dérivables sur leur ensemble de définition.

On note f la fonction racine carrée. Soit h un réel strictement positif et  M  le point de la courbe de f d'abscisse h.

Les sécantes se rapprochent de la droite d'équation x=0 lorsque le point  M  se rapproche de l'origine du repère. La droite « limite » est donc l'axe des ordonnées et n'a pas de coefficient directeur.

Donc f n'est pas dérivable en 0.

-

On considère une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I. Soit a\in I. Une équation de la tangente T_a à la courbe représentative de f au point d'abscisse a est :

y=f'(a)(x-a)+f(a)

Considérons la fonction g définie sur \mathbb{R} par :

g(x)=−3x^2+2x+1

On prend a=−3 et soit un réel h non nul.

Le taux de variation de g entre a et a+h est :

\tau_{g,-3,-3+h}=\dfrac{g(-3+h)-g(-3)}{h}

Or :

g(−3+h)=−3\times (−3+h)^2+2\times (−3+h)+1

g(−3+h)=−3(9−6h+h^2)−6+2h+1

g(−3+h)=−3h^2+20h−32

De plus :

g(−3)=−32.

On en déduit :

\tau_{g,-3,-3+h}=\dfrac{-3h^2+20h-32-(-32)}{h}

\tau_{g,-3,-3+h}=\dfrac{-3h^2+20h}{h}

\tau_{g,-3,-3+h}=-3h+20

Ainsi lorsque h tend vers 0, on obtient 20.

De ce fait, on a :

g'(−3)=20

Une équation de la tangente, T_{−3}, à la courbe de g au point d'abscisse −3 est donc :

y=f'(−3)(x-(−3))+f(−3)

y=20(x-(−3))−32

y=20(x+3)−32

La droite T_a passe par le point A\left( a,f(a)\right) et a pour coefficient directeur f'(a).

Ainsi T_a admet une équation du type :

y=f'(a)x+p

Comme A\in T_a, alors on a :

y_A=f'(a)x_A+p

Soit :

f(a)=f'(a)\times a+p

Ainsi, on a :

p=f(a)-af'(a)

Donc une équation de T_a est :

y=f'(a)x+f(a)-af'(a)

y=f'(a)(x-a)+f(a)

Le coefficient directeur d'une droite est également appelé "pente" de la droite. Ainsi, f'(a) est la pente de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a.

II

La dérivée sur un intervalle

Une nouvelle fonction apparaît : la fonction dérivée. Certaines fonctions de référence et leurs dérivées sont à connaître. Il en est de même pour la dérivée des fonctions obtenues par opérations sur les fonctions usuelles.

A

La dérivabilité sur un intervalle

Si une fonction est dérivable en tout point d'un intervalle I, elle est dérivable sur I. 

Fonction dérivable sur un intervalle

Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que la fonction f est dérivable sur l'intervalle  I lorsque f est dérivable en tout nombre réel de l'intervalle I.

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par :

\forall x \in \mathbb{R}f(x)=(1+x)^2

Soit a un réel quelconque et h un nombre réel non nul.

\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}

\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{(1+a+h)^2-(1+a)^2}{h}

\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{1+2a+2h+2ah+a^2+h^2-\left( 1+2a+a^2\right)}{h}

\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{2h+2ah+h^2}{h}

\tau_{f,a,a+h}=2+2a+h

Lorsque h tend vers 0, \tau_{f,a,a+h} tend vers 2+2a.

Donc :

\forall a \in \mathbb{R}, f'(a)=2+2a

La fonction f est donc dérivable sur \mathbb{R} et :

\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=2+2x

Fonction dérivée

La fonction, qui à tout réel x associe le nombre dérivé de f en x, est appelée la fonction dérivée de f. Elle se note f'.

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par :

\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=(1+x)^2

La fonction f est dérivable sur \mathbb{R}. La fonction f' est la fonction dérivée de f. Elle est définie sur \mathbb{R} par :

\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=2+2x

La notation f' est la notation dite « de Lagrange ».

Il existe d'autres notations :

  • celle de Leibniz : \dfrac{\text{d}f}{\text{d}x} ou \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} avec y=f(x) ;
  • celle de Newton : \dot{f} ou \dot{y} avec y=f(x).

Les notations de Leibniz et de Newton sont plus utilisées en physique.

B

Les fonctions dérivées des fonctions de référence

Les domaines de dérivabilité et les fonctions dérivées des fonctions de référence sont à connaître.

Voici des expressions des fonctions dérivées de quelques fonctions de référence.

Ensemble de définition de f f(x) f'(x) Ensemble de définition de f'
\mathbb{R} k (constante) 0 \mathbb{R}
\mathbb{R} mx+p m \mathbb{R}
[0;+\infty[ \sqrt{x} \dfrac{1}{2\sqrt{x}} ]0;+\infty[
\mathbb{R} x^2 2x \mathbb{R}
\mathbb{R} x^3 3x^2 \mathbb{R}
\mathbb{R}^* \dfrac{1}{x} \dfrac{−1}{x^2} \mathbb{R}^{\star}

Notons f la fonction carrée.

Soient a un réel quelconque et h un réel non nul.

Le taux de variation de f entre a et a+h est :

\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}

\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{(a+h)^2-a^2}{h}

\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h}

\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{2ah+h^2}{h}

\tau_{f,a,a+h}=2a+h

Lorsque h tend vers 0, \tau_{f,a,a+h} tend donc vers 2a.

Ainsi, f est bien dérivable sur \mathbb{R} et :

\forall x \in \mathbb{R}f'(x)=2x

Notons g la fonction inverse.

Soit a un réel non nul et h un réel non nul, tel que a+h\neq 0.

Le taux de variation de g entre a et a+h est :

\tau_{g,a,a+h}=\dfrac{g(a+h)-g(a)}{h}

\tau_{g,a,a+h}=\dfrac{\dfrac{1}{a+h}-\dfrac{1}{a}}{h}

\tau_{g,a,a+h}=\dfrac{\dfrac{a}{a(a+h)}-\dfrac{a+h}{a(a+h)}}{h}

\tau_{g,a,a+h}=\dfrac{\dfrac{a-a-h}{a(a+h)}}{h}

\tau_{g,a,a+h}=\dfrac{\dfrac{-h}{a(a+h)}}{h}

\tau_{g,a,a+h}=\dfrac{−1}{a(a+h)}

Lorsque h tend vers 0, \tau_{g,a,a+h} tend donc vers \dfrac{−1}{a^2}.

Ainsi, g est bien dérivable sur ]-\infty;0[ et sur ]0;+\infty[, et :

\forall x \in \mathbb{R}^*g'(x)=\dfrac{−1}{x^2}

L'ensemble de définition d'une fonction n'est pas nécessairement égal à son ensemble de dérivabilité.

C

Les fonctions dérivées et les opérations

Les domaines de dérivabilité et les fonctions dérivées des fonctions obtenues par opérations simples sur des fonctions de référence sont à connaître.

Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I de \mathbb{R}. Alors f=u+v est dérivable sur I et :

f'=u'+v'

Soit f la fonction définie sur \left[ 0;+\infty \right[  par :

\forall x \in \left[ 0;+\infty \right[, f(x)=x^2+\sqrt{x}

Soit f=u+v, avec :

  • \forall x \in \left[ 0;+\infty \right[, u(x)=x^2
  • \forall x \in \left[ 0;+\infty \right[, v(x)=\sqrt{x}

La fonction f est la somme de deux fonctions dérivables sur ]0;+∞[, donc f est dérivable sur ]0;+∞[ et f'=u'+v'.

Or, on a :

  • \forall x \in \left[ 0;+\infty \right[, u'(x)=2x
  • \forall x \in \left[ 0;+\infty \right[, v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}

Donc, on obtient :

\forall x \in \left[ 0;+\infty \right[, f'(x)=2x+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}

Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I de \mathbb{R}. Alors f=u\times v est dérivable sur I  et :

f'=u'v+uv'

Soit f la fonction définie sur [0;+∞[ par :

\forall x \in \left[ 0;+\infty \right[ ; f(x)=x^2\sqrt{x}

Soit f=u\times v, avec :

  • \forall x \in \left[ 0;+\infty \right[, u(x)=x^2
  • \forall x \in \left[ 0;+\infty \right[, v(x)=\sqrt{x}

La fonction f est un produit de deux fonctions dérivables sur ]0;+∞[, donc f est dérivable sur ]0;+∞[ et f'=u'v+uv'.

Or, on a :

  • \forall x \in \left[ 0;+\infty \right[, u'(x)=2x
  • \forall x \in \left[ 0;+\infty \right[, v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}

On obtient :

\forall x \in \left[ 0;+\infty \right[, f'(x)=2x\sqrt{x}+x^2\times \dfrac{1}{2\sqrt{x}}

Soit a un réel quelconque de l'intervalle I et h un réel non nul tel que a+h\in I. Alors :

\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{(uv)(a+h)-(uv)(a)}{h}

\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{u(a+h)v(a+h)-u(a)v(a)}{h}

\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{u(a+h)v(a+h)-u(a)v(a+h)+u(a)v(a+h)-u(a)v(a)}{h}

\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{[u(a+h)-u(a)]v(a+h)-u(a)[v(a+h)-v(a)]}{h}

\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}\times v(a+h)-u(a)\times \dfrac{v(a+h)-v(a)}{h}

Comme u et v sont dérivables en a, on a : 

  • \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}=u'(a)
  • \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{v(a+h)-v(a)}{h}=v'(a)

En admettant que lorsque h tend vers 0, v(a+h) tend vers v(a), on obtient :

\lim\limits_{h\to 0}\tau_{f,a,a+h}=u'(a)v(a)+u(a)v'(a)

Ainsi f est dérivable en a et on a :

f'(a)=u'(a)v(a)+u(a)v'(a)

On obtient bien :

f'=u'v+uv'

Soit v une fonction dérivable sur un intervalle I de \mathbb{R}. Si v ne s'annule pas sur I, alors f=\dfrac{1}{v} est dérivable sur I  et :

f'=\dfrac{-v'}{v^2}

Soit f la fonction définie sur ]0;+∞[ par :

\forall x \in \left[ 0;+\infty \right[, f(x)=\dfrac{1}{x^2}

On a f=\dfrac{1}{v}, avec :

\forall x \in \left[ 0;+\infty \right[, v(x)=x^2

La fonction v est dérivable sur ]0;+∞[ et ne s'annule pas sur ]0;+∞[. Donc f est dérivable sur ]0;+∞[ et on a :

f'=\dfrac{-v'}{v^2}

Or, on a :

\forall x \in \left[ 0;+\infty \right[, v'(x)=2x

Donc, on obtient :

\forall x \in \left[ 0;+\infty \right[, f'(x)=\dfrac{−2x}{\left(x^2\right)^2}=\dfrac{−2x}{x^4}=\dfrac{−2}{x^3}

Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I  de \mathbb{R}. Si v ne s'annule pas sur I, alors f=\dfrac{u}{v} est dérivable sur I  et :

f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}

Soit f la fonction définie sur ]0;+\infty[ par :

\forall x \in \left[ 0;+\infty \right[, f(x)=\dfrac{x^2+1}{x}

Soit f=\dfrac{u}{v}, avec :

  • \forall x \in \left[ 0;+\infty \right[, u(x)=x^2+1
  • \forall x \in \left[ 0;+\infty \right[, v(x)=x

De plus :

\forall x \in \left[ 0;+\infty \right[v(x)\neq 0

La fonction f est le quotient de deux fonctions dérivables sur ]0;+\infty[ telles que la deuxième fonction ne s'annule pas sur ]0;+\infty[, donc f est dérivable sur ]0;+\infty[ et on a :

f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}

Or, on a :

  • \forall x \in \left[ 0;+\infty \right[, u'(x)=2x
  • \forall x \in \left[ 0;+\infty \right[, v'(x)=1

Donc, on obtient :

\forall x \in \left[ 0;+\infty \right[, f'(x)=\dfrac{2x\times x-\left(x^2+1\right)\times 1}{x^2}=\dfrac{x^2−1}{x^2}

Soit n\in\mathbb{Z}. On note f la fonction x\mapsto x^n.

  • Si n\geq 0, alors f est dérivable sur \mathbb{R}.
  • Si n<0, alors f est dérivable sur ]-\infty;0[ et sur ]0;+\infty[.

Dans chacun des cas, pour tout réel x pour lequel f est dérivable, on a :

f'(x)=nx^{n−1}

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R}^* par :

\forall x \in \mathbb{R}^*, f(x)=\dfrac{1}{x^3}

On a :

\forall x \in \mathbb{R}^*, f(x)=x^{−3}

Donc,

\forall x \in \mathbb{R}^*, f(x)=x^n avec n=−3.

La fonction f est dérivable sur  \mathbb{R}^* de dérivée f' définie par :

\forall x \in \mathbb{R}^*, f'(x)=nx^{n−1}

\forall x \in \mathbb{R}^*, f'(x)=−3x^{−4}

\forall x \in \mathbb{R}^*, f'(x)=\dfrac{−3}{x^4}

En prenant n=−1, on a :

\forall x \in \mathbb{R}^*, f(x)=x^{−1}=\dfrac{1}{x}

La fonction f est donc dérivable sur \ \forall x \in \mathbb{R}^* et on a :

\forall x \in \mathbb{R}^*, f'(x)=(−1)\times x^{−1−1}=−1\times x^{−2}=\dfrac{−1}{x^2}

On retrouve le résultat de la partie précédente.

Soit g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R}, a et b deux nombres réels. Soit I  un intervalle de \mathbb{R} tel que pour tout x\in I, ax+b\in J.

Alors la fonction f:x\mapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I  :

f'(x)=a\times g'(ax+b)

Soit f la fonction définie sur \left[\dfrac{2}{3};+\infty\right[ par :

\forall x \in \left[\dfrac{2}{3};+\infty\right[f(x)=\sqrt{3x−2}

On a :

\forall x \in \left[\dfrac{2}{3};+\infty\right[, f(x)=g(ax+b)

Soit g la fonction racine carrée, a=3 et b=−2.

Pour tout x\in\left]\dfrac{2}{3};+\infty\right[, 3a−2\in]0;+\infty[ et g est dérivable sur ]0;+\infty[.

De plus, pour tout x>0, on a :

g'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}

Donc f est dérivable sur \left]\dfrac{2}{3};+\infty\right[ et on obtient :

\forall x \in \left[\dfrac{2}{3};+\infty\right[, f'(x)=3\times \dfrac{1}{2\sqrt{3x−2}}=\dfrac{3}{2\sqrt{3x−2}}

On dit que la fonction f est la composée de la fonction x\mapsto ax+b par (ou « suivie de ») la fonction g.

D

La dérivée de la fonction valeur absolue

La fonction valeur absolue est un exemple d'une fonction définie sur \mathbb{R}, mais qui n'est pas dérivable sur \mathbb{R}.

Fonction valeur absolue

On appelle fonction valeur absolue la fonction x\mapsto |x| définie par :

|x|=\begin{cases}x\text{ si }x\geq 0\\-x\text{ sinon}\end{cases}

La valeur absolue est définie sur \mathbb{R}. Elle est dérivable sur ]-\infty;0[ et sur ]0;+\infty[, mais pas en 0.

De plus, on a :

  • \forall x \in \left]-\infty;0\right[, f'(x)=−1
  • \forall x \in \left]0;+\infty\right[, f'(x)=1
-

On note f la fonction valeur absolue. On montre algébriquement que la fonction f n'est pas dérivable en 0, car le taux de variation de la fonction f entre 0 et h n'admet pas de limite lorsque h tend vers 0.

On prend :

  • a=0
  • h>0

O a :

\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{|h|-|0|}{h}=\dfrac{h}{h}=1

Donc :

\lim\limits_{{h\to 0}\atop{h \gt 0}}\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=1.

On prend :

  • a=0
  • h<0

On a :

\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{|h|-|0|}{h}=\dfrac{-h}{h}=−1

Donc :

\lim\limits_{{h\to 0}\atop{h \lt 0}}\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=−1

Ainsi :

\lim\limits_{{h\to 0}\atop{h \gt 0}}\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}\neq \lim\limits_{{h\to 0}\atop{h \lt 0}}\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}.

Le taux de variation de la fonction f entre 0 et h n'admet donc pas de limite lorsque h tend vers 0 puisque les limites obtenues avec h>0 et h<0 ne sont pas les mêmes.

La fonction valeur absolue n'est effectivement pas dérivable en 0.

On retrouve le résultat graphiquement.

Pour a>0, la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a a pour coefficient directeur 1.

Alors que pour a<0, la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a a pour coefficient directeur −1.

Au point d'abscisse 0 (c'est-à-dire l'origine du repère), la courbe représentative de f ne peut donc pas admettre de tangente.