Dans chacun des cas suivants, quel est le domaine de dérivabilité de la fonction f ?
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = \dfrac{x(x-2)}{(x-1)^2}
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables respectivement sur I_1 et I_2. Alors le domaine de dérivabilité de f= \dfrac{u}{v} est I_1\cap I_2 \backslash \left\{ x\in\mathbb{R}, v(x)=0 \right\}.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}, u(x)=x^2-2x
- \forall x \in \mathbb{R}, v(x)=(x-1)^2
On a :
- u dérivable sur \mathbb{R}
- v dérivable sur \mathbb{R}
Par ailleurs :
((v(x))=0\Leftrightarrow (x-1)^2=0\Leftrightarrow x-1=0\Leftrightarrow x=1
L'ensemble de dérivabilité I de f est donc :
I=I_1\cap I_2\backslash \left\{ 1 \right\}=\mathbb{R} \cap\mathbb{R} \backslash \left\{ 1 \right\}=\mathbb{R} \backslash \left\{ 1 \right\}
Le domaine de dérivabilité de f est donc \mathbb{R} \backslash \{1\}.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} \backslash \{-1\} telle que f(x) = \dfrac{x-1}{\sqrt{x}}.
Quel est le domaine de dérivabilité D de la fonction f ?
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables respectivement sur I_1 et I_2. Alors le domaine de dérivabilité de f= \dfrac{u}{v} est I_1\cap I_2 \backslash \left\{ x\in\mathbb{R}, v(x)=0 \right\}.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}, u(x)=x-1
- \forall x \in \mathbb{R}, v(x)= \sqrt{x}
On a :
- u dérivable sur \mathbb{R}
- v dérivable sur \mathbb{R}^*_+
Par ailleurs :
v(x)=0 \Leftrightarrow \sqrt{x}=0 \Leftrightarrow x=0
Donc l'ensemble de dérivabilité I de f est :
I=I_1 \cap I_2 \backslash \left\{ 0 \right \} = \mathbb{R} \cap \mathbb{R_+^*} \backslash \left\{ 0 \right\} = \mathbb{R}^*_+ \backslash \left\{ 0 \right\}
Le domaine de dérivabilité de f est donc \mathbb{R}^*_+ \backslash \{0\}.
Soit f la fonction définie par f(x) = \dfrac{1 + x^3}{x^2 + x - 2}.
Quel est le domaine de dérivabilité de f ?
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables respectivement sur I_1 et I_2. Alors le domaine de dérivabilité de f= \dfrac{u}{v} est I_1\cap I_2 \backslash \left\{ x\in\mathbb{R}, v(x)=0 \right\}.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}, u(x)=1+x^3
- \forall x \in \mathbb{R}, v(x)= x^2 + x - 2
On a :
- u dérivable sur \mathbb{R}
- v dérivable sur \mathbb{R}^*_+
Par ailleurs :
v(x)=0 \Leftrightarrow x^2 + x - 2=0 \Leftrightarrow x=0
On calcule ses racines.
On a :
\Delta = b^2 - 4ac = 1 + 8 = 9 = 3^2
Donc :
S = \{\dfrac{-1 - 3}{2} ; \dfrac{-1 + 3}{2}\}\\\\S = \{-2 ; 1 \}
(v(x)=0 \Leftrightarrow x \in \{-2; 1 \}
Donc l'ensemble de dérivabilité I de f est :
I=I_1 \cap I_2 \backslash \left\{ 0 \right \} = \mathbb{R} \cap \mathbb{R} \backslash \left\{ -2; 1 \right\} = \mathbb{R} \backslash \left\{ -2;1 \right\}
Le domaine de dérivabilité de f est donc \mathbb{R} \backslash \{-2;1\}.
Soit f la fonction définie par f(x) = \dfrac{x^2 - \dfrac{1}{x}}{\sqrt{x} - 1}.
Quel est le domaine de dérivabilité de f ?
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables respectivement sur I_1 et I_2. Alors le domaine de dérivabilité de f= \dfrac{u}{v} est I_1\cap I_2 \backslash \left\{ x\in\mathbb{R}, v(x)=0 \right\}.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}, u(x)=x^2 - \dfrac{1}{x}
- \forall x \in \mathbb{R}, v(x)= \sqrt{x} -1
On a :
- u dérivable sur \mathbb{R}^*
- v dérivable sur \mathbb{R}^*_+
Par ailleurs :
(v(x)=0 \Leftrightarrow \sqrt{x} - 1=0 \Leftrightarrow x=1
L'ensemble de dérivabilité I de f est donc :
I=I_1 \cap I_2 \backslash \left\{ 0 \right \} = \mathbb{R}^* \cap \mathbb{R_+^*} \backslash \left\{ 1 \right\} = \mathbb{R}^*_+ \backslash \left\{ 1 \right\}
Le domaine de dérivabilité de f est donc \mathbb{R}^*_+ \backslash \left\{ 1 \right\} .
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} telle que f(x) = \dfrac{2x+1}{(3x-2)^2}.
Quel est le domaine de dérivabilité de f ?
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables respectivement sur I_1 et I_2. Alors le domaine de dérivabilité de f= \dfrac{u}{v} est I_1\cap I_2 \backslash \left\{ x\in\mathbb{R}, v(x)=0 \right\}.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}, u(x)= 2x + 1
- \forall x \in \mathbb{R}, v(x)= (3x - 2)^2
On a :
- u dérivable sur \mathbb{R}
- v dérivable sur \mathbb{R}
Par ailleurs :
(v(x)=0 \Leftrightarrow (3x - 2)^2=0 \Leftrightarrow 3x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{3}
L'ensemble de dérivabilité I de f est donc :
I=I_1 \cap I_2 \backslash \left\{ 0 \right \} = \mathbb{R} \cap \mathbb{R} \backslash \left\{ \dfrac{2}{3} \right\} = \mathbb{R} \backslash \left\{ \dfrac{2}{3} \right\}
Le domaine de dérivabilité de f est donc \mathbb{R} \backslash \left\{ \dfrac{2}{3} \right\} .