Dans les cas suivants, déterminer la fonction dérivée de f.
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in D_f, f(x)=\dfrac{\left(x+\dfrac{1}{x}\right)(-3x+3)}{\sqrt{x-1}}
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables respectivement sur I, alors f= \dfrac{u}{v} est dérivable sur I \backslash \left\{ v(x)=0 \right\} et f'=\dfrac{u'\times v-u\times v'}{v^2}.
On pose :
- \forall x \in D_u, u(x)=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)(-3x+3)
- \forall x \in D_v, v(x)=\sqrt{x-1}
On a :
- \forall x \in D_u' , u'(x)=-6x+3-\dfrac{3}{x^2}
- \forall x \in D_v', v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x-1}}
\forall x \in D_{f'} , f'(x)=\dfrac{\left( -6x+3-\dfrac{3}{x^2} \right)\left( \sqrt{x-1} \right)-\left( \left(x+\dfrac{1}{x}\right)(-3x+3) \right)\left( \dfrac{1}{2\sqrt{x-1}} \right)}{x-1}
Donc : \forall x \in D_{f'} , f'(x)=\dfrac{\left( -6x+3-\dfrac{3}{x^2} \right) \sqrt{x-1}+\dfrac{\left( 3x^2-3x+3-\dfrac{3}{x} \right)}{2\sqrt{x-1}}}{x-1}
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in D_f, f(x)= \frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(2x-3\right)}{\left(x+2\right)^2}
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables respectivement sur I, alors f= \dfrac{u}{v} est dérivable sur I \backslash \left\{ v(x)=0 \right\} et f'=\dfrac{u'\times v-u\times v'}{v^2}.
On pose :
- \forall x \in D_u, u(x)=\left(\sqrt{x}+1\right)\left(2x-3\right)
- \forall x \in D_v, v(x)=(x+2)^2
On a :
- \forall x \in D_u', u'(x)=\left(3\sqrt{x}-\frac{3}{2\sqrt{x}}+2\right)
- \forall x \in D_v', v'(x)=2(x+2)
\forall x \in D_{f'}, f'(x) = \frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2}=\frac{\left(3\sqrt{x}-\frac{3}{2\sqrt{x}}+2\right)\left( x+2 \right)^2-\left( \left(\sqrt{x}+1\right)\left(2x-3\right) \right)\left( 2x+4 \right)}{\left( x+2 \right)^4}
Donc : \forall x \in D_{f'}, f'(x) = \frac{\left(3\sqrt{x}-\frac{3}{2\sqrt{x}}+2\right)\left( x+2 \right)^2- \left(\sqrt{x}+1\right)\left(2x-3\right) \left( 2x+4 \right)}{\left( x+2 \right)^4}
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in D_f, f(x)= \frac{\left(x^2+3x+1\right)\left(x-3\right)}{\left(2x-1\right)^3}
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables respectivement sur I, alors f= \dfrac{u}{v} est dérivable sur I \backslash \left\{ v(x)=0 \right\} et f'=\dfrac{u'\times v-u\times v'}{v^2}.
On pose :
- \forall x \in D_u, u(x)=\left(x^2+3x+1\right)\left(x-3\right)
- \forall x \in D_v, v(x)=(2x-1)^3
On a :
- \forall x \in D_u', u'(x)=(2x+3)(x-3)+(x^2+3x+1)=3x^2-8
- \forall x \in D_v', v'(x)=6(2x-1)^2
\forall x \in D_{f'}, f'(x) = \frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2}=\frac{\left(3x^2-8\right)\left( 2x-1 \right)^3-6\left( x^2+3x+1 \right)\left(x-3\right)\left( 2x-1 \right)^2}{\left( 2x-1 \right)^6}
Donc : \forall x \in D_{f'}, f'(x) =\frac{\left(3x^2-8\right)\left( 2x-1 \right)^3-6\left( x^2+3x+1 \right)\left(x-3\right)\left( 2x-1 \right)^2}{\left( 2x-1 \right)^6}
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in D_f, f(x)= \frac{\left(x^3+1\right)\left(3x+\frac{1}{x}\right)}{\left(2\sqrt{x}+1\right)}
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables respectivement sur I, alors f= \dfrac{u}{v} est dérivable sur I \backslash \left\{ v(x)=0 \right\} et f'=\dfrac{u'\times v-u\times v'}{v^2}.
On pose :
- \forall x \in D_u, u(x)=\left(x^3+1\right)\left(3x+\frac{1}{x}\right)
- \forall x \in D_v, v(x)=2\sqrt{x}+1
On a :
- \forall x \in D_u', u'(x)=(3x^2)(3x+\frac{1}{x})+(1+x^3)\left(3-\frac{1}{x^2}\right)=12x^3+2x+3-\frac{1}{x^2}
- \forall x \in D_v', v'(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}
\forall x \in D_{f'}, f'(x) = \frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2}=\frac{\left(12x^3+2x+3-\frac{1}{x^2}\right)\left( 2\sqrt{x}+1 \right)-\left(x^3+1\right)\left(3x+\frac{1}{x}\right)\left( \frac{1}{\sqrt{x}} \right)}{\left(2\sqrt{x}+1 \right)^2}
Donc : \forall x \in D_{f'}, f'(x) = \frac{\left(12x^3+2x+3-\frac{1}{x^2}\right)\left( 2\sqrt{x}+1 \right)-\left(x^3+1\right)\left(3x+\frac{1}{x}\right)\left( \frac{1}{\sqrt{x}} \right)}{\left(2\sqrt{x}+1 \right)^2}
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in D_f, f(x)= \frac{\left(-7x+2\right)\left(x-\sqrt{x}\right)}{\sqrt{3x+1}}
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables respectivement sur I, alors f= \dfrac{u}{v} est dérivable sur I \backslash \left\{ v(x)=0 \right\} et f'=\dfrac{u'\times v-u\times v'}{v^2}.
On pose :
- \forall x \in D_u, u(x)=\left(-7x+2\right)\left(x-\sqrt{x}\right)
- \forall x \in D_v, v(x)= \sqrt{3x+1}
On a :
- \forall x \in D_u', u'(x)=-7(x-\sqrt{x})+(-7x+2)\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)
- \forall x \in D_v', v'(x)=\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}
\forall x \in D_{f'}, f'(x) = \frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2}=\frac{\left(-7x+7\sqrt{x}+(-7x+2)\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)\right) \sqrt{3x+1} -\left(-7x+2\right)\left(x-\sqrt{x}\right)\frac{3}{2\sqrt{3x+1}} }{3x+1}
Donc : \forall x \in D_{f'}, f'(x) =\frac{\left(-7x+7\sqrt{x}+(-7x+2)\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)\right) \sqrt{3x+1} -\left(-7x+2\right)\left(x-\sqrt{x}\right) \frac{3}{2\sqrt{3x+1}} }{3x+1}