Quel est le domaine de dérivabilité de chacune des fonctions suivantes ?
Soit f la fonction définie par :
\forall x \in \mathbb{R}^+_*, f(x)=x^4-2x^3+3x^2-x+1+3\sqrt{x}-\dfrac{2}{x}
Soient u, v et w trois fonctions définies et dérivables respectivement sur I_1, I_2 et I_3. Alors le domaine de dérivabilité de f= u + v+w est I_1\cap I_2\cap I_3.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}, u(x)=x^4-2x^3+3x^2-x+1
- \forall x \in \mathbb{R}^+, v(x)=3\sqrt{x}
- \forall x \in \mathbb{R}^*, w(x)=\dfrac{-2}{x}
On a :
- u est une fonction polynômiale dérivable sur \mathbb{R}.
- v est une fonction racine dérivable sur \mathbb{R}^+_*.
- w est une fonction inverse dérivable sur \mathbb{R}^*.
Donc l'ensemble de dérivabilité I de f est :
I=I_1\cap I_2\cap I_3=\mathbb{R} \cap\mathbb{R}^+_*\cap \mathbb{R}^*=\mathbb{R}^+_*
f est donc dérivable sur \mathbb{R}^+_*.
Soit f la fonction définie par :
\forall x \in \mathbb{R}^+, f(x)=3x^5-2x^2+\sqrt{x}
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables respectivement sur I_1 et I_2. Alors le domaine de dérivabilité de f= u + v est I_1\cap I_2.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}, u(x)=3x^5-2x^2
- \forall x \in \mathbb{R}^+, v(x)=\sqrt{x}
On a :
- u est une fonction polynômiale dérivable sur \mathbb{R}.
- v est une fonction racine dérivable sur \mathbb{R}^+_*.
Donc l'ensemble de dérivabilité I de f est :
I=I_1\cap I_2=\mathbb{R} \cap\mathbb{R}^+_*=\mathbb{R}^+_*
f est donc dérivable sur \mathbb{R}^+_*.
Soit f la fonction définie par :
\forall x \in \mathbb{R}_*, f(x)=x^3-4x^2+\dfrac{4}{x}
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables respectivement sur I_1 et I_2. Alors le domaine de dérivabilité de f= u + v est I_1\cap I_2.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}, u(x)=x^3-4x^2
- \forall x \in \mathbb{R}_*, v(x)=\dfrac{4}{x}
On a :
- u est une fonction polynômiale dérivable sur \mathbb{R}.
- v est une fonction inverse dérivable sur \mathbb{R}_*.
Donc l'ensemble de dérivabilité I de f est :
I=I_1\cap I_2=\mathbb{R} \cap\mathbb{R}_*=\mathbb{R}_*
f est donc dérivable sur \mathbb{R}_*.
Soit f la fonction définie par :
\forall x \in \mathbb{R}^+_*, f(x)=5\sqrt{x}-\dfrac{3}{x}
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables respectivement sur I_1 et I_2. Alors le domaine de dérivabilité de f= u + v est I_1\cap I_2.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}^+, u(x)=5\sqrt{x}
- \forall x \in \mathbb{R}_*, v(x)=-\dfrac{3}{x}
On a :
- u est une fonction racine dérivable sur \mathbb{R}^+_*.
- v est une fonction inverse dérivable sur \mathbb{R}_*.
Donc l'ensemble de dérivabilité I de f est :
I=I_1\cap I_2=\mathbb{R}^+_* \cap\mathbb{R}_*=\mathbb{R}^+_*
f est donc dérivable sur \mathbb{R}^+_*.
Soit f la fonction définie par :
\forall x \in \mathbb{R}^+_*, f(x)=(x+3)^3-x^3+7x^2-x-6\sqrt{x}+\dfrac{3}{x}
Soient u, v et w trois fonctions définies et dérivables respectivement sur I_1, I_2 et I_3. Alors le domaine de dérivabilité de f= u + v+w est I_1\cap I_2\cap I_3.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}, u(x)=(x+3)^3-x^3+7x^2-x
- \forall x \in \mathbb{R}^+, v(x)=-6\sqrt{x}
- \forall x \in \mathbb{R}^*, w(x)=\dfrac{3}{x}
On a :
- u est une fonction polynômiale dérivable sur \mathbb{R}.
- v est une fonction racine dérivable sur \mathbb{R}^+_*.
- w est une fonction inverse dérivable sur \mathbb{R}^*.
Donc l'ensemble de dérivabilité I de f est :
I=I_1\cap I_2\cap I_3=\mathbb{R} \cap\mathbb{R}^+_*\cap \mathbb{R}^*=\mathbb{R}^+_*
f est donc dérivable sur \mathbb{R}^+_*.