Dans chacun des cas suivants, calculer la fonction dérivée de f.
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}^* , f(x) = \dfrac{2x+3}{x}
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I.
Si v ne s'annule pas sur I, alors la fonction f=\dfrac{u}{v} est une fonction dérivable sur I , et f'=\dfrac{u'\times v-u\times v'}{v^2}.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}, u(x) = 2x+3
- \forall x \in \mathbb{R}, v(x)=x
On a :
- u dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R}, u'(x)=2
- v dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R}, v'(x)=1
Par ailleurs, v(x)=0 \Leftrightarrow x=0.
D'où f est dérivable sur \mathbb{R}^* et :
\forall x \in \mathbb{R}^*, f'(x) = \dfrac{2\times (x)-(2x+3)\times 1}{x^2}
\forall x \in \mathbb{R}^*, f'(x) = \dfrac{2x-2x-3}{x^2}
Ainsi, \forall x \in \mathbb{R}^*, f'(x) = -\dfrac{3}{x^2} .
Soit f la fonction définie par :
\forall x \in \mathbb{R}\backslash\{4\}, f(x) = \dfrac{-2x+3}{-x+4}
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I.
Si v ne s'annule pas sur I, alors la fonction f=\dfrac{u}{v} est une fonction dérivable sur I , et f'=\dfrac{u'\times v-u\times v'}{v^2}.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}, u(x) = -2x+3
- \forall x \in \mathbb{R}, v(x)=-x+4
On a :
- u dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R}, u'(x)=-2
- v dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R}, v'(x)=-1
Par ailleurs, v(x)=0 \Leftrightarrow x=4.
D'où f est dérivable sur \mathbb{R}\backslash\{4\} et :
\forall x \in \mathbb{R}\backslash\{4\}, f'(x) = \dfrac{(-2)\times (-x+4)-(-2x+3)\times (-1)}{(-x+4)^2}
\forall x \in \mathbb{R}\backslash\{4\}, f'(x) = \dfrac{2x-8-2x+3}{(-x+4)^2}
Ainsi, \forall x \in \mathbb{R}\backslash\{4\} , f'(x)= \dfrac{-5}{(-x+4)^2} .
Soit f la fonction définie par :
\forall x \in \mathbb{R}_+^* , f(x) = \dfrac{3x+5}{\sqrt{x}}
(Deux réponses sont possibles.)
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I.
Si v ne s'annule pas sur I, alors la fonction f=\dfrac{u}{v} est une fonction dérivable sur I , et f'=\dfrac{u'\times v-u\times v'}{v^2}.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}, u(x) = 3x+5
- \forall x \in \mathbb{R}_+, v(x)=\sqrt x
On a :
- u dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R}, u'(x)=3
- v dérivable sur \mathbb{R}^*_+ et \forall x \in \mathbb{R}^*_+, v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt x}
Par ailleurs, v(x)=0 \Leftrightarrow x=0.
D'où f est dérivable sur \mathbb{R}^*_+ et :
\forall x \in \mathbb{R}^*_+, f'(x) = \dfrac{(3)\times\sqrt{x}-(3x+5)\times\frac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x})^2}
\forall x \in \mathbb{R}^*_+, f'(x) = \dfrac{3\sqrt{x}-\frac{3}{2}\frac{x}{\sqrt{x}}-\frac{5}{2\sqrt{x}}}{x}
\forall x \in \mathbb{R}^*_+, f'(x)= \dfrac{3\sqrt{x}-\frac{3}{2}\sqrt{x}-\frac{5}{2\sqrt{x}}}{x}
\forall x \in \mathbb{R}^*_+, f'(x)= \dfrac{\frac{3}{2}\sqrt{x}-\frac{5}{2\sqrt{x}}}{x}
Ce que l'on peut également réécrire, en multipliant par 2\sqrt{x} en haut et en bas :
\forall x \in \mathbb{R}^*_+, f'(x)= \dfrac{3x-5}{2x\sqrt{x}}
Les bonnes réponses sont donc :
\forall x \in \mathbb{R}^*_+ , f'(x)= \dfrac{\frac{3}{2}\sqrt{x}-\frac{5}{2\sqrt{x}}}{x}
\forall x \in \mathbb{R}^*_+ , f'(x)= \dfrac{3x-5}{2x\sqrt{x}}
Soit f la fonction définie par :
\forall x \in \mathbb{R}_+^* , f(x) = \dfrac{2\sqrt{x}}{x^4}
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I.
Si v ne s'annule pas sur I, alors la fonction f=\dfrac{u}{v} est une fonction dérivable sur I , et f'=\dfrac{u'\times v-u\times v'}{v^2}.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}_+, u(x) = 2\sqrt x
- \forall x \in \mathbb{R}, v(x)=x^4
On a :
- u dérivable sur \mathbb{R}^*_+ et \forall x \in \mathbb{R}^*_+, u'(x)=\dfrac{1}{\sqrt x}
- v dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R}, v'(x)=4x^3
Par ailleurs, v(x)=0 \Leftrightarrow x=0.
D'où f est dérivable sur \mathbb{R}^*_+ et :
\forall x \in \mathbb{R}^*_+, f'(x) = \dfrac{\frac{1}{\sqrt{x}}\times x^4-2\sqrt{x}\times 4x^3}{(x^4)^2}
\forall x \in \mathbb{R}^*_+, f'(x) = \dfrac{\frac{x^4}{\sqrt{x}}-8x^3\sqrt{x}}{x^8}
Ce que l'on peut également réécrire, en multipliant par \sqrt{x} en haut et en bas :
\forall x \in \mathbb{R}^*_+, f'(x)= \dfrac{x^4-8x^3\times x}{x^8\sqrt{x}}
\forall x \in \mathbb{R}^*_+, f'(x)= \dfrac{x^4-8x^4}{x^8\sqrt{x}}
\forall x \in \mathbb{R}^*_+, f'(x)= \dfrac{-7x^4}{x^8\sqrt{x}}
Ainsi, \forall x \in \mathbb{R}^*_+ , f'(x)= \dfrac{-7}{x^4\sqrt{x}} .
Soit f la fonction définie par :
\forall x \in \mathbb{R}\backslash\{0;-2\} , f(x) = \dfrac{\frac{1}{x}}{-2x-4}
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I.
Si v ne s'annule pas sur I, alors la fonction f=\dfrac{u}{v} est une fonction dérivable sur I , et f'=\dfrac{u'\times v-u\times v'}{v^2}.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}^*, u(x) = \dfrac{1}{x}
- \forall x \in \mathbb{R}, v(x)=-2x-4
On a :
- u dérivable sur \mathbb{R}^* et \forall x \in \mathbb{R}^*, u'(x)=-\dfrac{1}{x^2}
- v dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R}, v'(x)=-2
Par ailleurs, v(x)=0 \Leftrightarrow x=-2.
D'où f est dérivable sur \mathbb{R}^*\backslash\{-2\} = \mathbb{R}\backslash\{0;-2\} et :
\forall x \in \mathbb{R}\backslash\{0;-2\}, f'(x) = \dfrac{\frac{-1}{x^2}\times (-2x-4)-\frac{1}{x}\times (-2)}{(-2x-4)^2}
\forall x \in \mathbb{R}\backslash\{0;-2\}, f'(x) = \dfrac{\frac{2x}{x^2}+\frac{4}{x^2}+\frac{2}{x}}{(2x+4)^2}
Ce qu'on peut également réécrire, en multipliant par \frac{x^2}{4} en haut et en bas :
\forall x \in \mathbb{R}\backslash\{0;-2\}, f'(x)= \dfrac{\frac{2x}{4}+1+\frac{2x}{4}}{\frac{x^2}{4}(2x+4)^2}
Ainsi, \forall x \in \mathbb{R}\backslash\{0;-2\} , f'(x)= \dfrac{x+1}{x^2(x+2)^2} .