Soit f la fonction définie par :
f:x \longmapsto2 x + \dfrac{1}{x + 1}
Quel est l'intervalle de définition de f ?
f est définie lorsque le dénominateur de la partie fractionnaire ne s'annule pas.
On a :
x+1 = 0 \Leftrightarrow x = -1
L'intervalle de définition de f est donc \mathbb{R} \backslash \left\{ -1 \right\} .
Quelle est la dérivée de f ?
On a :
f:x \longmapsto 2 x + \dfrac{1}{x + 1}
La dérivée de x \to 2x est x \to 2 .
Pour dériver x \to \dfrac{1}{x+1} qui est de la forme u \circ v , on peut appliquer :
\left( (u \circ v \right)'(x) = u'(v(x)) \times v'(x)
Avec :
u(x) = \dfrac{1}{x} donc u'(x) = - \dfrac{1}{x^{2}}
Et :
v(x) = x + 1 donc v'(x) = 1
Ainsi :
\left( \dfrac{1}{x + 1} \right)' = - \dfrac{1}{(x+1)^2}
Finalement, f'(x) = 2 - \dfrac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} .
Quel est le signe de f'(x) ?
On a :
f'(x) \geq 0 \Leftrightarrow 2 - \dfrac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} \geq 0
f'(x) \geq 0 \Leftrightarrow 2(x+1)^2 -1 \geq 0
f'(x) \geq 0 \Leftrightarrow 2 (x^2 + 2x+1) -1 \geq 0
f'(x) \geq 0 \Leftrightarrow 2 x^2 + 4x+ 1 \geq 0
On veut étudier le signe du trinôme 2x^2 + 4x + 1 .
On a :
\Delta = b^2 - 4ac = (4)^2 - 4 \times 2 \times 1 = 16 - 8 = 8
Donc :
x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-4-2\sqrt{2}}{4}
x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} =-1 - \dfrac{\sqrt{2}}{2}
et
x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-4+2\sqrt{2}}{4}
x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} =-1 + \dfrac{\sqrt{2}}{2}
Le trinôme est du signe de a = 2 > 0 à l'extérieur des racines donc :
f'(x) \geq 0 \Leftrightarrow x \in \left]-\infty, -1 - \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right] \cup \left[-1 + \dfrac{\sqrt{2}}{2},+\infty\right[
Ainsi, f' est positive sur \left]-\infty, -1 - \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right] \cup \left[-1 + \dfrac{\sqrt{2}}{2}, +\infty\right[ .