Dans chacun des cas suivants, déterminer la fonction dérivée de f.
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=(3x+6)^5
Soit g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R}, a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que \forall x \in I, ax+b \in J. Alors la fonction x\longmapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I, f'(x)=a\times g'(ax+b).
Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=(3x+6)^5
On pose :
\forall x \in \mathbb{R}, g(x)=x^5
On a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=g(3x+6)
La fonction g est dérivable sur \mathbb{R} et on a :
\forall x \in \mathbb{R}, g'(x)=5x^4
Donc :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=3\times 5(3x+6)^4
Ainsi, \forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=15(3x+6)^4.
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=(4x-8)^7
Soit g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R}, a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que \forall x \in I, ax+b \in J. Alors la fonction x\longmapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I, f'(x)=a\times g'(ax+b).
Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=(4x-8)^7
On pose :
\forall x \in \mathbb{R}, g(x)=x^7
On a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=g(4x-8)
La fonction g est dérivable sur \mathbb{R} et on a :
\forall x \in \mathbb{R}, g'(x)=7x^6
Donc :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=4\times 7(4x-8)^6
Ainsi, \forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=28(4x-8)^6.
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=(-2x+1)^3
Soit g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R}, a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que \forall x \in I, ax+b \in J. Alors la fonction x\longmapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I, f'(x)=a\times g'(ax+b).
Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=(-2x+1)^3
On pose :
\forall x \in \mathbb{R}, g(x)=x^3
On a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=g(-2x+1)
La fonction g est dérivable sur \mathbb{R} et on a :
\forall x \in \mathbb{R}, g'(x)=3x^2
Donc :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=-2\times 3(-2x+1)^2
Ainsi, \forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=-6(-2x+1)^2.
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=(-4x-3)^8
Soit g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R}, a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que \forall x \in I, ax+b \in J. Alors la fonction x\longmapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I, f'(x)=a\times g'(ax+b).
Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=(-4x-3)^8
On pose :
\forall x \in \mathbb{R}, g(x)=x^8
On a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=g(-4x-3)
La fonction g est dérivable sur \mathbb{R} et on a :
\forall x \in \mathbb{R}, g'(x)=8x^3
Donc :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=-4\times 8(-4x-3)^7
Ainsi, \forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=-32(-4x-3)^7.
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=(9x-7)^9
Soit g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R}, a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que \forall x \in I, ax+b \in J. Alors la fonction x\longmapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I, f'(x)=a\times g'(ax+b).
Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=(9x-7)^9
On pose :
\forall x \in \mathbb{R}, g(x)=x^9
On a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=g(9x-7)
La fonction g est dérivable sur \mathbb{R} et on a :
\forall x \in \mathbb{R}, g'(x)=9x^8
Donc :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=9\times 9(9x-7)^8
Ainsi, \forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=81(9x-7)^8.