Démontrer la forme de la dérivée d'une fonction carrée.
Quelle est l'expression du nombre dérivé en x d'une fonction f(x) ?
D'après le cours, le nombre dérivé est la limite pour h \to 0 du taux d'accroissement de la fonction f entre x et x + h .
Le taux d'accroissement entre x et x + h s'écrit :
\dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}
Le nombre dérivé s'écrit donc :
\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}
Quelle est l'expression du nombre dérivé en x de la fonction f(x) = x^2 ?
Le nombre dérivé en x d'une fonction f(x) s'écrit :
\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}
En utilisant la fonction f(x) = x^2 , on a :
\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{(x+h)^2-x^2}{h}
\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{(x^2+2xh +h^2)-x^2}{h}
\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{2xh +h^2}{h}
En simplifiant les h au numérateur et au dénominateur, on obtient donc :
\lim\limits_{h \to 0} 2x + h
Quelle est l'expression de la dérivée en x de la fonction f(x) = x^2 ?
La dérivée d'une fonction f(x) en x correspond au nombre dérivé.
Or le nombre dérivé de la fonction f(x) = x^2 est :
\lim\limits_{h \to 0} 2x + h
Donc pour tout x :
f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} 2x + h
La dérivée de la fonction f(x) = x^2 est donc :
f'(x) = 2x
Quel est l'intervalle de définition de la dérivée de la fonction f(x) = x^2 ?
La dérivée de la fonction f(x) = x^2 est :
f'(x) = 2x
L'intervalle de définition de f' est donc : \mathbb{R} .