Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I de \mathbb{R}.
Soit la fonction f = \dfrac{u}{v}.
Vrai ou faux ? f est nécessairement dérivable sur I.
f est dérivable sur I si et seulement si v ne s'annule pas sur I.
Dans le cas contraire, f est dérivable sur I privé des valeurs pour lesquelles la fonction v s'annule.
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I de \mathbb{R} telles que v ne s'annule pas sur I.
Soit la fonction f = \dfrac{u}{v}.
Quelle est la formule de dérivation de la fonction f ?
Soit la fonction f définie par f(x) = \dfrac{\sqrt{x}}{2x-1}.
Quel est l'ensemble de dérivation de f ?
On note u la fonction définie par u(x)= \sqrt{x} et v la fonction définie par v(x) = 2x-1.
u est définie sur \mathbb{R}_+ et dérivable sur \mathbb{R}_+^* comme fonction racine.
v est définie et dérivable sur \mathbb{R} et s'annule en x = \dfrac{1}{2}.
f est donc dérivable sur \mathbb{R}_+^*\backslash \left\{ \dfrac{1}{2} \right\}.
Soit la fonction f définie sur \mathbb{R}_+\backslash \left\{\dfrac{1}{2} \right\} par f(x) = \dfrac{\sqrt{x}}{2x-1}.
f est dérivable sur \mathbb{R}_+^*\backslash \left\{\dfrac{1}{2} \right\}.
Quelle est l'expression de f' ?
On note u la fonction définie par u(x)= \sqrt{x} et v la fonction définie par v(x) = 2x-1.
On a f = \dfrac{u}{v}, donc f' = \dfrac{u'v-uv'}{v^2}.
Ici, u'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} et v'(x) = 2, d'où \forall x \in \mathbb{R}_+^* \backslash \left\{\dfrac{1}{2} \right\} :
f'(x) = \dfrac{\dfrac{2x-1}{2\sqrt{x}}-2\sqrt{x}}{(2x-1)^2}\\\Leftrightarrow f'(x) = \dfrac{\dfrac{2x-1-4x}{2\sqrt{x}}}{(2x-1)^2}\\\Leftrightarrow f'(x) = \dfrac{-2x-1}{2\sqrt{x}(2x-1)^2}