Soit f la fonction cube telle que f(x) = x^3.
Vrai ou faux ? f est définie sur \mathbb{R}.
Vrai. La fonction cube est définie sur \mathbb{R}. En effet, \forall x \in \mathbb{R}, f(x) \in \mathbb{R}.
Soit f la fonction cube telle que f(x) = x^3.
Soient a un réel quelconque et h un réel non nul.
On note \tau_{f,a,a+h} le taux de variation de f entre a et a+h.
Que vaut f'(a) ?
D'après le cours, soit f une fonction définie sur un intervalle I et a\in I.
On dit que f est dérivable en a si et seulement s'il existe un réel t tel que :
\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} = l\\\Leftrightarrow \lim\limits_{h \to 0} \tau_{f,a,a+h} = l
On a alors f'(a) = l.
Or, ici :
\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\\`\Leftrightarrow\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{(a+h)^3 - a^3}{h}\\\\\Leftrightarrow\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{a^3 + 3a^2h + 3ah^2 + h^3 - a^3}{h}\\\\\Leftrightarrow\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{h(3a^2 + 3ah + h^2)}{h}\\\\\Leftrightarrow\tau_{f,a,a+h}=3a^2 + 3ah + h^2\\
Or :
\lim\limits_{h \to 0} (3ah + h^2) = 0\\\Rightarrow \lim\limits_{h \to 0} (3a^2 + 3ah + h^2) = 3a^2\\
D'où :
\lim\limits_{h \to 0} \tau_{f,a,a+h} = 3a^2
f est donc dérivable en a et on a :
f'(a) = 3a^2
Soit f la fonction cube telle que f(x) = x^3.
Soit a un réel quelconque.
f est dérivable en a.
Quel est l'intervalle de dérivabilité de f ?
D'après l'énoncé, \forall a \in \mathbb{R}, f'(a) \in \mathbb{R}.
D'où f est dérivable sur \mathbb{R}.
Soit f la fonction cube telle que f(x) = x^3.
Quelle est la formule de dérivation de f ?
On a trouvé que, \forall a \in \mathbb{R}, f'(a) = 3a^2.
Donc \forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = 3x^2.