Quelle est la dérivée de chacune des fonctions suivantes ?
Soit f la fonction définie par :
\forall x \in \mathbb{R}\backslash\{-2\} , f(x) = \dfrac{2x^2-x^4}{x^3+8}
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I \in \mathbb{R}. Alors la fonction f=\dfrac{u}{v} est une fonction dérivable sur I \in \mathbb{R} et f'=\dfrac{u' \times v - u \times v'}{v^2}.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}, u(x) = 2x^2-x^4
- \forall x \in \mathbb{R}, v(x) = x^3+8
On a :
- u est dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R}, u'(x) = 4x-4x^3 .
- v est dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R}, v'(x) = 3x^2 .
D'où, f est dérivable sur \mathbb{R} \backslash\left\{ -2 \right\} et \forall x \in \mathbb{R} \backslash\left\{ -2 \right\} :
f'(x) = \frac{(4x-4x^3)\times(x^3+8) - (2x^2-x^4)\times 3x^2}{(x^3+8)^2}
f'(x)= \frac{4x^4+32x - 4x^6 - 32x^3 - 6x^4 + 3x^6}{(x^3+8)^2}
Ainsi, \forall x \in \mathbb{R} \backslash\left\{ -2 \right\}, f'(x) = \frac{-x^6-2x^4-32x^3+32x}{(x^3+8)^2}.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R}\backslash\{0;1\} par :
\forall x \in \mathbb{R}\backslash\{0;1\} , f(x) = \frac{2x^{3}+3x^2}{x^2-\frac{1}{x}}
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I \in \mathbb{R}. Alors la fonction f=\dfrac{u}{v} est une fonction dérivable sur I \in \mathbb{R} et f'=\dfrac{u' \times v - u \times v'}{v^2}.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}, u(x) = 2x^{3}+3x^2
- \forall x \in \mathbb{R}, v(x) = x^2-\frac{1}{x}
On a :
- u est dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R}, u'(x) = 6x^{2}+6x .
- v est dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R}, v'(x) = 2x+\frac{1}{x^{2}}.
D'où f est dérivable sur \mathbb{R} \backslash\left\{0;1 \right\} et \forall x \in \mathbb{R} \backslash\left\{0;1 \right\} :
f'(x) = \frac{(6x^{2}+6x)\times(x^2-\frac{1}{x}) - (2x^{3}+3x^2)\times (2x+\frac{1}{x^{2}})}{(x^2-\frac{1}{x})^2}
f'(x)= \frac{6x^4 + 6x^3 - 6x - 6 -4x^4 - 6x^3 -2x - 3}{(x^2-\frac{1}{x})^2}
Ainsi, \forall x \in \mathbb{R} \backslash\left\{0;1 \right\}, f'(x) = \frac{2x^{4}-8x-9}{(x^2-\frac{1}{x})^2}.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R}_+ par :
\forall x \in \mathbb{R}_+ , f(x) = \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I \in \mathbb{R}. Alors la fonction f=\dfrac{u}{v} est une fonction dérivable sur I \in \mathbb{R} et f'=\dfrac{u' \times v - u \times v'}{v^2}.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R_+}, u(x) = \sqrt{x}
- \forall x \in \mathbb{R_+}, v(x) = 1+\sqrt{x}
On a :
- u est dérivable sur \mathbb{R}^*_+ et \forall x \in \mathbb{R}^*_+, u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} .
- v est dérivable sur \mathbb{R}^*_+ et \forall x \in \mathbb{R}^*_+, v'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} .
D'où f est dérivable sur \mathbb{R}^*_+ et \forall x \in \mathbb{R}^*_+ :
f'(x) = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}\times (1+\sqrt{x})-\sqrt{x}\times \frac{1}{2\sqrt{x}}}{(1+\sqrt{x})^2}
f'(x)= \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}{(1+\sqrt{x})^2}
f'(x) = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}}{(1+\sqrt{x})^2}
Ainsi, \forall x \in \mathbb{R}^*_+, f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}(1+\sqrt{x})^2} .
Soit la fonction f définie sur \mathbb{R}\backslash\{-\sqrt{2};\sqrt{2}\} telle que :
\forall x \in \mathbb{R}\backslash\{-\sqrt{2};\sqrt{2}\}, f(x) = \dfrac{x^3}{x^2-2}
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I \in \mathbb{R}. Alors la fonction f=\dfrac{u}{v} est une fonction dérivable sur I \in \mathbb{R} et f'=\dfrac{u' \times v - u \times v'}{v^2}.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R_+}, u(x) = x^3
- \forall x \in \mathbb{R_+}, v(x) = x^2-2
On a :
- u est dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R}, u'(x) = 3x^2 .
- v est dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R}, v'(x) = 2x .
D'où f est dérivable sur \mathbb{R}\backslash\{-\sqrt{2};\sqrt{2}\} et \forall x \in \mathbb{R}\backslash\{-\sqrt{2};\sqrt{2}\} :
f'(x) = \dfrac{3x^2(x^2-2)-x^3\times2x}{(x^2-2)^2}
f'(x) = \dfrac{3x^4-6x^2-2x^4}{(x^2-2)^2}
f'(x) = \dfrac{x^4-6x^2}{(x^2-2)^2}
Ainsi, \forall x \in \mathbb{R}\backslash\{-\sqrt{2};\sqrt{2}\}, f'(x) = \dfrac{x^4-6x^2}{(x^2-2)^2} .
Soit la fonction f définie sur \mathbb{R}^+ par :
\forall x \in\mathbb{R}^+, f(x) = \dfrac{\sqrt{x}-x^2}{2x+3}
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I \in \mathbb{R}. Alors la fonction f=\dfrac{u}{v} est une fonction dérivable sur I \in \mathbb{R} et f'=\dfrac{u' \times v - u \times v'}{v^2}.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R_+}, u(x) = \sqrt{x}-x^2
- \forall x \in \mathbb{R}, v(x) = 2x+3
On a :
- u est dérivable sur \mathbb{R}^*_+ et \forall x \in \mathbb{R}^*_+, u'(x) =\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-2x.
- v est dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R}, v'(x) =2 .
D'où f est dérivable sur \mathbb{R}^*_+ et \forall x \in \mathbb{R}^*_+ :
f'(x) = \dfrac{(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-2x)(2x+3)-2(\sqrt{x}-x^2)}{(2x+3)^2}
f'(x)=\dfrac{\sqrt{x}-4x^2+\dfrac{3}{2\sqrt{x}}-6x-2\sqrt{x}+2x^2}{(2x+3)^2}
Ainsi, \forall x \in \mathbb{R}^*_+, f'(x)=\dfrac{-2x^2-6x-\sqrt{x}+\dfrac{3}{2\sqrt{x}}}{(2x+3)^2}.