Dans chacun des cas suivants, déterminer le domaine de dérivabilité de la fonction f.
Soit f la fonction définie par :
\forall x \in D_f, f(x)=\sqrt{3x+3}
Soit g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R} et a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que pour tout x\in I, ax+b\in J. Alors la fonction f:x\mapsto g(ax+b) est dérivable sur I.
Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=\sqrt{3x+3}
On a :
- x\longmapsto \sqrt x est la fonction racine carrée dérivable sur \mathbb{R}^+_*.
- x\longmapsto 3x+3 une fonction affine dérivable sur \mathbb{R}.
Ainsi, f est dérivable lorsque 3x+3\in \mathbb{R^+_*}.
On résout :
3x+3\geqslant 0 \Leftrightarrow x\geqslant -1
La fonction f est donc dérivable sur \left] -1,+\infty \right[.
Soit f la fonction définie par :
\forall x \in D_f, f(x)=(2x-1)^2
Soient g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R} et a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que pour tout x\in I, ax+b\in J. Alors la fonction f:x\mapsto g(ax+b) est dérivable sur I.
Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=(2x-1)^2
On a :
- x\longmapsto x^2 est la fonction carrée, dérivable sur \mathbb{R}.
- x\longmapsto 2x-1 une fonction affine dérivable sur \mathbb{R}.
Ainsi, f est dérivable lorsque 2x-1\in \mathbb{R}.
Soit :
x\in\mathbb{R}
La fonction f est donc dérivable sur \mathbb{R}.
Soit f la fonction définie par :
\forall x \in D_f, f(x)=(-7x+1)^3
Soient g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R} et a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que pour tout x\in I, ax+b\in J. Alors la fonction f:x\mapsto g(ax+b) est dérivable sur I.
Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=(-7x+1)^3
On a :
- x\longmapsto x^3 est la fonction cube, dérivable sur \mathbb{R}.
- x\longmapsto -7x+1 une fonction affine dérivable sur \mathbb{R}.
Ainsi, f est dérivable lorsque -7x+1\in \mathbb{R}.
Soit :
x\in \mathbb{R}
La fonction f est donc dérivable sur \mathbb{R}.
Soit f la fonction définie par :
\forall x \in D_f, f(x)=\frac{1}{1-x}
Soient g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R} et a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que pour tout x\in I, ax+b\in J. Alors la fonction f:x\mapsto g(ax+b) est dérivable sur I.
Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=\frac{1}{1-x}
On a :
- x\longmapsto \frac{1}{x} est la fonction inverse, dérivable sur \mathbb{R}_*.
- x\longmapsto 1-x une fonction affine dérivable sur \mathbb{R}.
Ainsi, f est dérivable lorsque x-1\in \mathbb{R}_*.
On résout :
x-1 \neq 0 \Leftrightarrow x\neq 1
La fonction f est donc dérivable sur \mathbb{R}\backslash{-1}.
Soit f la fonction définie par :
\forall x \in D_f, f(x)=\frac{1}{3x+2}
Soient g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R} et a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que pour tout x\in I, ax+b\in J. Alors la fonction f:x\mapsto g(ax+b) est dérivable sur I.
Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=\frac{1}{3x+2}
On a :
- x\longmapsto \frac{1}{x} est la fonction inverse, dérivable sur \mathbb{R}_*.
- x\longmapsto 3x+2 une fonction affine dérivable sur \mathbb{R}.
Ainsi, f est dérivable lorsque 3x+2\in \mathbb{R}_*.
On résout :
3x+2 \neq 0 \Leftrightarrow x\neq \frac{-2}{3}
La fonction f est donc dérivable sur \mathbb{R}\backslash{-\frac{2}{3}}.