Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} \backslash \{0; 1\} :
f(x) = \frac{x^{3}-3x}{x-\frac{1}{x}}
Sur quel intervalle la fonction f est-elle dérivable ?
La fonction f est un quotient de fonctions dérivables.
La fonction x \mapsto x^3 - 3x est dérivable sur \mathbb{R} .
La fonction x \mapsto x-\frac{1}{x} est dérivable sur \mathbb{R}^* car x \mapsto \dfrac{1}{x} est dérivable sur \mathbb{R}^* . De plus, elle s'annule en x=1, c'est donc une valeur interdite de la fonction f .
f est donc dérivable sur \mathbb{R} \backslash \{0; 1\} .
Quelle est la fonction dérivée de la fonction f ?
f est un quotient de fonctions dérivables de la forme f = \dfrac{u}{v} avec :
u(x) = x^3 - 3x donc u'(x) = 3x^2 - 3
et v(x) = x - \dfrac{1}{x} donc v'(x) = 1 + \dfrac{1}{x^2} .
D'après le cours, f' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2} , donc :
f'(x) = \dfrac{(3x^2 - 3) \times \left( x - \dfrac{1}{x} \right) - (x^3 - 3x) \times \left(1 + \dfrac{1}{x^2} \right) }{\left(x - \dfrac{1}{x} \right)^2}
f'(x) = \dfrac{(3x^2 - 3) \times \left( \dfrac{x^2 - 1}{x} \right) - (x^3 - 3x) \times \left( \dfrac{x^2 + 1}{x^2} \right) }{\left(\dfrac{x^2 - 1}{x} \right)^2}
f'(x) = \dfrac{\dfrac{x(3x^2 - 3)(x^2 - 1)}{x^2} - \dfrac{(x^3 - 3x)(x^2 + 1)}{x^2} }{\dfrac{(x^2 - 1)^2}{x^2} }
En simplifiant les x^2 au numérateur et au dénominateur :
f'(x) = \dfrac{x(3x^2 - 3)(x^2 - 1) - (x^3 - 3x)(x^2 + 1) }{(x^2 - 1)^2 }
f'(x) = \dfrac{x(3x^4 - 3x^2 -3x^2 + 3) - (x^5 + x^3 -3x^3 - 3x) }{(x^2 - 1)^2 }
f'(x) = x \dfrac{3x^4 - 3x^2 -3x^2 + 3 - x^4 - x^2 + 3x^2 + 3 }{(x^2 - 1)^2 }
f'(x) = x \dfrac{2x^4 - 4x^2 + 6 }{(x^2 - 1)^2 }
La fonction dérivée de la fonction f' est donc :
f'(x) = 2x \dfrac{x^4 - 2x^2 + 3 }{(x^2 - 1)^2 }
Quelles sont les racines du polynôme (E) : X^2 - 2X +3 ?
Pour calculer les racines d'un polynôme du second degré, il faut d'abord calculer son discriminant.
Le discriminant \Delta d'une fonction du second degré f(x) = ax^2 + bx + c est le nombre réel :
\Delta = b^2 - 4ac
Ici :
(E) :X^2 - 2X + 3
Donc :
\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times 3
\Delta = -8
Comme \Delta < 0 , le trinôme ne s'annule jamais et est toujours du signe de a , c'est-à-dire positif.
Ainsi, S = \varnothing .
Quel est le tableau de signes de f' ?
f'(x) = 2x \dfrac{x^4 - 2x^2 + 3 }{(x^2 - 1)^2 }
Or, en faisant le changement de variable X = x^2 dans x^4 - 2x^2 + 3 , on se ramène au polynôme X^2 - 2X +3 qui est toujours positif.
Le dénominateur (x^2 - 1)^2 est un carré, donc toujours positif.
Enfin, f' est du signe de 2x .
Donc f' est positive sur \mathbb{R_+^*} \backslash \left\{ 1 \right\} et négative sur \mathbb{R}_-^*
