Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} \backslash \{-3\} :
f(x)=\dfrac{\left(2x-1\right)^3}{\left(x+3\right)}
Sur quel intervalle la fonction f est-elle dérivable ?
La fonction f est un quotient de fonctions dérivables.
La fonction x \mapsto (2x-1)^3 est dérivable sur \mathbb{R} .
La fonction x \mapsto x+3 est dérivable sur \mathbb{R} . De plus, elle s'annule en x=-3, c'est donc une valeur interdite de la fonction f .
f est donc dérivable sur \mathbb{R} \backslash \{-3\} .
Quelle est la fonction dérivée de la fonction f ?
f est un quotient de fonctions dérivables de la forme f = \dfrac{u}{v} avec :
u(x) = (2x-1)^3 donc u'(x) = 3 \times 2 (2x-1)^2 = 6(2x-1)^2
et v(x) = (x+3) donc v'(x) = 1
D'après le cours, f' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2} , donc :
f'(x) = \dfrac{ 6(2x-1)^2 \times (x+3) - (2x-1)^3 \times 1 }{\left(x+3 \right)^2}
f'(x) = (2x-1)^2 \dfrac{ 6 \times (x+3) - (2x-1) }{\left(x+3 \right)^2}
f'(x) = (2x-1)^2 \dfrac{ 6x + 18 - 2x+1 }{\left(x+3 \right)^2}
La fonction dérivée de la fonction f est donc :
f'(x) = (2x-1)^2 \dfrac{ 4x + 19 }{\left(x+3 \right)^2}
Sur quel intervalle a-t-on f' < 0 ?
f'(x) = (2x-1)^2 \dfrac{ 4x + 19 }{\left(x+3 \right)^2}
Comme (2x-1)^2 et (x+3)^2 sont des carrés, ils sont toujours positifs. f' est donc du signe de 4x +19 .
On doit étudier le signe de 4x +19 :
f'(x) < 0 \Leftrightarrow 4x + 19 < 0
f'(x) < 0 \Leftrightarrow 4x < -19
f'(x) < 0 \Leftrightarrow x < -\dfrac{19}{4}
f' est donc négative sur \left] - \infty ; - \dfrac{19}{4} \right[ .