Première ES 2016-2017
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Première ES 2016-2017

Déterminer le nombre dérivé de f en un réel

Méthode 1

A l'aide du taux d'accroissement

Une fonction f est dérivable en un réel a si et seulement si son taux d'accroissement en a admet une limite finie l lorsque h tend vers 0. Dans ce cas, f(a)=l.

On considère la fonction f qui à tout réel x associe f(x)=x2x+1.

Montrer que f est dérivable en 1 et calculer f(1).

Etape 1

Calculer le taux d'accroissement de f en a

Soit I un intervalle inclus dans l'ensemble de définition de f. Soient aI et h0 tel que (a+h)I.

On écrit le taux d'accroissement de f entre a et a+h.

Il est égal à :

f(a+h)f(a)h.

Le taux d'accroissement de f entre 1 et 1+h (avec h0 ) vaut :

f(1+h)f(1)h=(1+h)2(1+h)+1(11+1)h

Etape 2

Déterminer la limite du taux d'accroissement

On simplifie l'expression du taux d'accroissement au maximum.

En particulier, si possible, on factorise h au numérateur afin de le simplifier au dénominateur.

On simplifie l'expression. Pour tout réel h non nul :

f(1+h)f(1)h=1+2h+h21h+11h

f(1+h)f(1)h=h2+hh

On factorise par h non nul :

f(1+h)f(1)h=h(h+1)h

On simplifie par h au numérateur et au dénominateur. On obtient, pour tout réel h non nul :

f(1+h)f(1)h=h+1

Etape 3

Conclure

Deux cas se présentent :

  • Il ne reste plus de puissance de h au dénominateur. On peut alors "remplacer" h par 0 et le résultat, noté limh0f(a+h)f(a)h, est égal à f(a).
  • Il reste une puissance de h au dénominateur. On ne peut pas "remplacer" h par 0, f n'est pas dérivable en a.

Il n'y a pas de puissance de h au dénominateur. On peut donc "remplacer" h par 0. On obtient :

limh0f(1+h)f(1)h=1

Donc f est dérivable en 1 et f(1)=1.

Méthode 2

Graphiquement

f(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a.

On considère la fonction f, dont la courbe représentative Cf est donnée ci-dessous. Déterminer graphiquement la valeur de f(0).

-
Etape 1

Rappeler le cours

On rappelle que f(a) est le coefficient directeur de la tangente à Cf au point d'abscisse a.

f(0) est le coefficient directeur de la tangente à Cf au point d'abscisse 0.

Etape 2

Identifier la tangente à Cf au point d'abscisse a

On repère sur le graphique la tangente à Cf au point d'abscisse a.

T0 est la tangente à Cf au point d'abscisse 0.

Etape 3

Calculer le coefficient directeur de la tangente

On calcule le coefficient directeur de cette tangente. Pour cela, on choisit deux points A(xA;yA) et B(xB;yB) appartenant à la tangente.

Le coefficient directeur vaut alors :

yByAxBxA

Si la tangente est horizontale, son coefficient directeur vaut 0.

A(1;0) et B(2;6) appartiennent à T0.

-

Donc le coefficient directeur de T0 vaut :

yByAxBxA=602(1)

yByAxBxA=63

yByAxBxA=2

Etape 4

Conclure

f(a) est égal au coefficient directeur de la tangente à Cf au point d'abscisse a.

On conclut : f(a)=yByAxBxA.

f(0) est égal au coefficient directeur de la tangente à Cf au point d'abscisse 0.

Ainsi, f(0)=2.

Méthode 3

Si l'on connaît la fonction dérivée de f

Si f est dérivable sur un intervalle I et que l'on connaît l'expression de f'(x) sur I, on peut alors calculer f(a), avec aI.

On considère une fonction f définie sur . On donne x,f(x)=4x3. Déterminer la valeur de f(2).

Etape 1

Rappeler l'expression de f(x)

f est l'expression de la dérivée de f, sur un intervalle I donné. On rappelle son expression.

On a :

x,f(x)=4x3

Etape 2

Calculer f(a)

On remplace x par a dans l'expression de f(x). On obtient ainsi la valeur de f(a).

On remplace x par 2 dans l'expression de f'. On obtient :

f(2)=4×23

Soit :

f(2)=5

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