Première ES 2015-2016
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Première ES 2015-2016

Rechercher une tangente particulière

Méthode 1

On recherche une tangente passant par un point

Si f est dérivable en a, une équation de tangente Ta à la courbe Cf au point d'abscisse a est :

y=f(a)(xa)+f(a)

Lorsque l'on recherche la (ou les) tangente(s) à Cf qui passe(nt) par le point B(xB;yB), on cherche en réalité à déterminer a tel que Ta passe par B.

On considère la fonction f définie sur par :

x, f(x)=x2

On appelle Cf sa courbe représentative. Déterminer la ou les tangentes à Cf passant par le point B(2;3).

Etape 1

Rappeler la condition

Rechercher une tangente passant par B(xB;yB) revient à rechercher le (ou les) point(s) d'abscisse(s) a au(x)quel(s) la droite est tangente à la courbe.

Ici on cherche a tel que la tangente Ta passe par le point B(xB;yB).

On cherche le (ou les) point(s) d'abscisse a tel que la tangente Ta passe par le point B(2;3).

Etape 2

Poser l'équation

Si f est dérivable en a, une équation de la tangente Ta est :

y=f(a)(xa)+f(a)

Comme la tangente passe par le point B(xB;yB), les coordonnées de B vérifient l'équation de Ta, on a donc :

yB=f(a)(xBa)+f(a)

f étant la fonction carré, elle est dérivable sur . Ici, la tangente Ta passant par B(2;3) nous donne l'équation :

3=f(a)(2a)+f(a)

Etape 3

Exprimer f(a) et f(a) en fonction de a

On exprime f(a) et f(a) en fonction de a.

f est dérivable sur en tant que fonction polynôme.

x, f(x)=x2

Donc x, f(x)=2x

On en déduit que :

  • f(a)=a2
  • f(a)=2a
Etape 4

Résoudre l'équation

On résout l'équation obtenue en sachant que a est l'inconnue.

L'équation peut avoir 0, 1 ou plusieurs solutions.

L'équation à résoudre devient ainsi :

3=2a(2a)+a2

4a2a2+a23=0

a2+4a3=0

L'équation obtenue est une équation du second degré du type αx2+βx+γ=0.

Afin de déterminer ses racines, on calcule le discriminant Δ :

Δ=β24αγ

Δ=424(1)(3)

Δ=4

Δ>0 donc l'équation admet deux solutions :

  • a1=bΔ2a=442=3
  • a2=bΔ2a=4+42=1
Etape 5

Conclure en donnant une équation de la (ou des) tangente(s) recherchée(s)

On conclut en donnant les abscisses des points de contact entre Cf et les tangentes recherchées.

On détermine une équation de chaque tangente solution, de la forme y=f(a)(xa)+f(a).

L'équation obtenue a deux solutions.

On en déduit qu'il existe deux tangentes à Cf passant par B(2;3).

La première est la tangente à Cf au point d'abscisse 1. Elle a pour équation :

y=f(1)(x1)+f(1)

Soit :

y=2x1

La deuxième est la tangente à Cf au point d'abscisse 3. Elle a pour équation :

y=f(3)(x3)+f(3)

Soit :

y=6x9

Méthode 2

On cherche une tangente de coefficient directeur donné

Si f est dérivable en a, une équation de tangente Ta à la courbe Cf au point d'abscisse a est :

y=f(a)(xa)+f(a)

Lorsque l'on recherche la tangente à Cf de coefficient directeur b, on cherche en réalité à déterminer a tel que Ta a pour coefficient directeur b.

On considère la fonction f définie sur par :

x, f(x)=4x28x+1

On appelle Cf sa courbe représentative. Déterminer la ou les tangente(s) à Cf de coefficient directeur égal à 4.

Etape 1

Rappeler la condition

Rechercher une tangente de coefficient directeur donné revient à rechercher le point d'abscisse a auquel la droite est tangente à la courbe.

Ici on cherche a tel que la tangente Ta ait pour coefficient directeur la valeur b donnée.

On cherche le(s) point(s) d'abscisse a tel que la tangente Ta ait un coefficient directeur égal à 4.

Etape 2

Poser l'équation

Si f est dérivable en a, on sait que le coefficient directeur d'une tangente à la courbe représentative en a est égal au nombre dérivé en a.

Donc la tangente Ta a un coefficient directeur égal à b si et seulement si f(a)=b.

Comme fonction polynôme, f est dérivable sur , et donc en a. Le coefficient directeur de la tangente Ta vaut f(a).

Ainsi, Ta a un coefficient directeur égal à 4 si et seulement si f(a)=4.

Etape 3

Calculer f(x)

On justifie que f est dérivable sur I et on calcule f(x).

f est dérivable sur en tant que fonction polynôme.

x, f(x)=4x28x+1

Donc :

x, f(x)=8x8

Etape 4

Résoudre l'équation

On résout l'équation f(a)=b.

On résout :

f(a)=4

8a8=4

8a=12

a=32

Etape 5

Conclure en donnant une équation de la (ou des) tangente(s) recherchée(s)

On conclut sur les abscisses des points de contact entre Cf et les tangentes recherchées.

On détermine une équation de chaque tangente solution :

y=f(a)(xa)+f(a) ou, plus simplement, y=b(xa)+f(a)

Il existe donc une tangente à Cf de coefficient directeur égal à 4, c'est la tangente au point d'abscisse 32.

Elle admet pour équation :

y=4(x32)+f(32)

Soit :

y=4x6+4(32)28(32)+1

Finalement :

T1,5:y=4x8

Méthode 3

On cherche une tangente parallèle à une droite

Si f est dérivable en a, une équation de tangente Ta à la courbe Cf au point d'abscisse a est :

y=f(a)(xa)+f(a)

Lorsque l'on recherche la (ou les) tangente(s) à Cf parallèle(s) à une droite D, on cherche en réalité à déterminer a tel que Ta soit parallèle à D.

On considère la fonction f définie sur par :

f(x)=2x2+4x+3

On appelle Cf sa courbe représentative. Déterminer la ou les tangente(s) à Cf parallèle(s) à la droite d'équation y=6x2.

Etape 1

Rappeler la condition

Rechercher une tangente parallèle à une droite de coefficient directeur donné revient à rechercher le point d'abscisse a auquel la droite est tangente à la courbe.

Ici on cherche a tel que la tangente Ta soit parallèle à la droite D.

On cherche le(s) point(s) d'abscisse a tel que la tangente Ta soit parallèle à la droite d'équation y=6x2.

Etape 2

Rappeler la condition pour que deux droites soient parallèles

Deux droites non parallèles à l'axe des ordonnées sont parallèles si et seulement si elles ont même coefficient directeur.

Il faut donc ici que la (ou les) tangente(s) Ta ai(en)t le même coefficient directeur que D.

Or, deux droites non parallèles à l'axe des ordonnées sont parallèles si et seulement si elles ont même coefficient directeur. On cherche donc le(s) point(s) d'abscisse a tel(s) que la tangente Ta ait un coefficient directeur égal à 6.

Etape 3

Poser l'équation

On sait si f est dérivable en a que le coefficient directeur d'une tangente à la courbe représentative en a est égal au nombre dérivé en a.

Donc la tangente Ta a un coefficient directeur égal à b si et seulement si :

f(a)=b

Comme fonction polynôme, f est dérivable sur . Donc le coefficient directeur de la tangente à Cf au point d'abscisse a vaut f(a).

Ainsi, la tangente Ta a un coefficient directeur égal à 6 si et seulement si :

f(a)=6

Etape 4

Calculer f(x)

On justifie que f est dérivable sur I et on calcule f(x).

f est dérivable sur en tant que fonction polynôme.

x, f(x)=2x2+4x+3

Donc :

x, f(x)=4x+4

Etape 5

Résoudre l'équation

On résout l'équation f(a)=b.

On résout donc :

f(a)=6

4a+4=6

4a=2

a=12

Etape 6

Conclure en donnant une équation de la (ou des) tangente(s) recherchée(s)

On conclut sur les abscisses des points de contact entre Cf et les tangentes recherchées.

On détermine une équation de chaque tangente solution :

y=f(a)(xa)+f(a) ou, plus simplement, y=b(xa)+f(a)

La seule tangente à Cf de coefficient directeur égal à 4 est la tangente au point d'abscisse 12.

Elle admet pour équation :

y=6(x+12)+f(12)

Soit :

y=6x+32(12)2+4(12)+3

y=6x+3,5

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