Première L 2016-2017

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Déterminer le nombre dérivé de f en un réel

Méthode 1

A l'aide du taux d'accroissement

Une fonction f est dérivable en un réel a si et seulement si son taux d'accroissement en a admet une limite finie l lorsque h tend vers 0. Dans ce cas, \(\displaystyle{f'\left(a\right)=l}\).

On considère la fonction f qui à tout réel x associe \(\displaystyle{f\left(x\right) = x^2-x+1}\).

Montrer que f est dérivable en 1 et calculer \(\displaystyle{f'\left(1\right)}\).

Etape 1

Calculer le taux d'accroissement de f en a

Soit I un intervalle inclus dans l'ensemble de définition de f. Soient \(\displaystyle{a\in I}\) et \(\displaystyle{h\neq0}\) tel que \(\displaystyle{\left(a+h\right)\in I}\).

On écrit le taux d'accroissement de f entre a et \(\displaystyle{a+h}\).

Il est égal à :

\(\displaystyle{\dfrac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}}\).

Le taux d'accroissement de f entre 1 et \(\displaystyle{1+h}\) (avec \(\displaystyle{h\neq0}\) ) vaut :

\(\displaystyle{\dfrac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h} = \dfrac{\left(1+h\right)^2-\left(1+h\right)+1 - \left(1-1+1\right)}{h}}\)

Etape 2

Déterminer la limite du taux d'accroissement

On simplifie l'expression du taux d'accroissement au maximum.

En particulier, si possible, on factorise par h au numérateur afin de le simplifier avec le dénominateur.

On simplifie l'expression. Pour tout réel h non nul :

\(\displaystyle{\dfrac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h} = \dfrac{1+2h+h^2-1-h+1 -1}{h}}\)

\(\displaystyle{\dfrac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h} = \dfrac{h^2+h}{h}}\)

On factorise par h non nul :

\(\displaystyle{\dfrac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h} = \dfrac{h\left(h+1\right)}{h}}\)

On simplifie par h au numérateur et au dénominateur. On obtient, pour tout réel h non nul :

\(\displaystyle{\dfrac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h} = h+1}\)

Etape 3

Conclure

Deux cas se présentent :

  • Il ne reste plus de puissance de h au dénominateur. On peut alors "remplacer" h par 0 et le résultat, noté \(\displaystyle{\lim_{h \to 0} \dfrac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}}\), est égal à \(\displaystyle{f'\left(a\right)}\).
  • Il reste une puissance de h au dénominateur. On ne peut pas "remplacer" h par 0, f n'est pas dérivable en a.

Il n'y a pas de puissance de h au dénominateur. On peut donc "remplacer" h par 0. On obtient :

\(\displaystyle{\lim_{h \to 0} \dfrac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h} = 1\in \mathbb{R}}\)

Donc f est dérivable en 1 et \(\displaystyle{f'\left(1\right) = 1}\) .

Méthode 2

Graphiquement

\(\displaystyle{f'\left(a\right)}\) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a.

On considère la fonction f, dont la courbe représentative \(\displaystyle{C_f}\) est donnée ci-dessous. Déterminer graphiquement la valeur de \(\displaystyle{f'\left(0\right)}\).

-
Etape 1

Rappeler le cours

On rappelle que \(\displaystyle{f'\left(a\right)}\) est le coefficient directeur de la tangente à \(\displaystyle{C_f}\) au point d'abscisse a.

\(\displaystyle{f'\left(0\right)}\) est le coefficient directeur de la tangente à \(\displaystyle{C_f}\) au point d'abscisse 0.

Etape 2

Identifier la tangente à \(\displaystyle{C_f}\) au point d'abscisse a

On repère sur le graphique la tangente à \(\displaystyle{Cf}\) au point d'abscisse a.

\(\displaystyle{T_0}\) est la tangente à \(\displaystyle{C_f}\) au point d'abscisse 0.

Etape 3

Calculer le coefficient directeur de la tangente

On calcule le coefficient directeur de cette tangente. Pour cela, on choisit deux points \(\displaystyle{A\left(x_A;y_A\right)}\) et \(\displaystyle{B\left(x_B;y_B\right)}\) appartenant à la tangente.

Le coefficient directeur vaut alors :

\(\displaystyle{\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}\)

Si la tangente est horizontale, son coefficient directeur vaut 0.

\(\displaystyle{A\left(-1;0\right)}\) et \(\displaystyle{B\left(2;6\right) }\) appartiennent à \(\displaystyle{T_0}\).

-

Donc le coefficient directeur de \(\displaystyle{T_0}\) vaut :

\(\displaystyle{\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} = \dfrac{6-0}{2-\left(-1\right)}}\)

\(\displaystyle{\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} = \dfrac{6}{3}}\)

\(\displaystyle{\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} = 2}\)

Etape 4

Conclure

\(\displaystyle{f'\left(a\right)}\) est égal au coefficient directeur de la tangente à \(\displaystyle{Cf}\) au point d'abscisse a.

On conclut : \(\displaystyle{f'\left(a\right) = \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}\).

\(\displaystyle{f'\left(0\right)}\) est égal au coefficient directeur de la tangente à \(\displaystyle{C_f}\) au point d'abscisse 0.

Ainsi, \(\displaystyle{f'\left(0\right) = 2}\).

Méthode 3

Si l'on connaît la fonction dérivée de f

Si f est dérivable sur un intervalle I et que l'on connaît l'expression de f'(x) sur I, on peut alors calculer \(\displaystyle{f'\left(a\right)}\), avec \(\displaystyle{a \in I}\).

On considère une fonction f définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\). On donne \(\displaystyle{\forall x \in\mathbb{R}, f'\left(x\right) = 4x-3}\). Déterminer la valeur de \(\displaystyle{f'\left(2\right)}\).

Etape 1

Rappeler l'expression de \(\displaystyle{f'\left(x\right)}\)

\(\displaystyle{f'}\) est l'expression de la dérivée de f, sur un intervalle I donné. On rappelle son expression.

On a :

\(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R},f'\left(x\right) = 4x-3}\)

Etape 2

Calculer \(\displaystyle{f'\left(a\right)}\)

On remplace x par a dans l'expression de \(\displaystyle{f'\left(x\right)}\). On obtient ainsi la valeur de \(\displaystyle{f'\left(a\right)}\).

On remplace x par 2 dans l'expression de f'. On obtient :

\(\displaystyle{f'\left(2\right)= 4\times 2-3}\)

Soit :

\(\displaystyle{f'\left(2\right)= 5}\)

Chapitre 5 La dérivation
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Formulaire

La dérivation