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Etudier le sens de variation d'une fonction

Méthode 1

À l'aide de la fonction dérivée de f

Pour étudier le sens de variation d'une fonction f dérivable sur I, on étudie le signe de sa fonction dérivée.

On considère la fonction f définie par :

\(\displaystyle{\forall x \in\mathbb{R}}\), \(\displaystyle{f\left(x\right) = 3x^3-x^2-x-4}\)

Étudier le sens de variation de f sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).

Etape 1

Dériver f

On justifie que f est dérivable sur I et on calcule \(\displaystyle{f'\left(x\right) }\).

f est dérivable sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) en tant que fonction polynôme. On a :

\(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{f\left(x\right)= 3x^3-x^2-x-4}\)

Donc :

\(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{f'\left(x\right)= 9x^2-2x-1}\)

Etape 2

Étudier le signe de \(\displaystyle{f'\left(x\right)}\)

On étudie le signe de \(\displaystyle{f'\left(x\right)}\) sur I.

\(\displaystyle{f'\left(x\right)}\) est un trinôme du second degré. Afin d'étudier son signe, on calcule le discriminant \(\displaystyle{\Delta}\) :

\(\displaystyle{\Delta = b^2-4ac}\)

\(\displaystyle{\Delta = \left(-2\right)^2 -4\times \left(9\right)\times\left(-1\right) }\)

\(\displaystyle{\Delta = 40}\)

\(\displaystyle{\Delta \gt 0}\), donc le trinôme est du signe de a (positif) sauf entre les racines.

On détermine les racines :

  • \(\displaystyle{x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}= \dfrac{2-\sqrt{40}}{18} = \dfrac{1-\sqrt{10}}{9} }\)
  • \(\displaystyle{x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}= \dfrac{2+\sqrt{40}}{18} = \dfrac{1+\sqrt{10}}{9} }\)

On en déduit le signe de \(\displaystyle{f'\left(x\right)}\) :

-
Etape 3

Réciter le cours

On récite ensuite le cours :

  • Si \(\displaystyle{f'\left(x\right)\gt0}\) sur un intervalle I, alors f est strictement croissante sur I.
  • Si \(\displaystyle{f'\left(x\right)\lt0}\) sur un intervalle I, alors f est strictement décroissante sur I.

On sait que :

  • Si \(\displaystyle{f'\left(x\right)\gt0}\) sur un intervalle I, alors f est strictement croissante sur I.
  • Si \(\displaystyle{f'\left(x\right)\lt0}\) sur un intervalle I, alors f est strictement décroissante sur I.
Etape 4

Conclure sur le sens de variation de f

On déduit alors du signe de \(\displaystyle{f'\left(x\right)}\) le sens de variation de f. On peut récapituler le résultat dans un tableau de variations.

Ici, on a donc :

  • f est strictement croissante sur \(\displaystyle{\left]-\infty ; \dfrac{1-\sqrt{10}}{9} \right]}\) et sur \(\displaystyle{ \left[ \dfrac{1+\sqrt{10}}{9} ; +\infty\right[}\)
  • f est strictement décroissante sur \(\displaystyle{\left[ \dfrac{1-\sqrt{10}}{9} ;\dfrac{1+\sqrt{10}}{9} \right]}\)

On en déduit le tableau de variations de f :

-
Méthode 2

À l'aide du sens de variation des fonctions de référence

On peut exprimer une fonction f comme composée de fonctions de référence, et déterminer ainsi son sens de variation.

On considère la fonction f définie pour tout \(\displaystyle{x \in\mathbb{R}^+}\) par :

\(\displaystyle{f\left(x\right) =-2\sqrt{x} +3}\)

Etudier le sens de variation de f sur \(\displaystyle{\mathbb{R}^+}\).

Etape 1

Exprimer f comme composée de fonctions de référence

On exprime f comme le produit, le quotient ou la composée d'une ou plusieurs fonctions de référence.

Ici, on reconnaît la fonction racine, multipliée par une constante négative et le tout additionné d'une constante.

\(\displaystyle{x\longmapsto\sqrt{x}\longmapsto-2\sqrt{x}\longmapsto-2\sqrt{x}+3}\)

Etape 2

Donner les variations de chaque fonction de référence

Donner le sens de variation de chaque fonction de référence, et effectuer les opérations successives (et les changements de sens de variation impliqués).

L'addition d'une constante c à une fonction f ne change pas son sens de variation sur I.

Les fonctions \(\displaystyle{f\left(x\right) = x^2}\) et \(\displaystyle{g\left(x\right) = x^2+3}\) ont le même sens de variation sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).

D'après le cours, on sait que :

  • La fonction \(\displaystyle{x\longmapsto\sqrt{x}}\) est croissante sur \(\displaystyle{\mathbb{R}^+}\).
  • Les fonctions \(\displaystyle{x\longmapsto\sqrt{x}}\) et \(\displaystyle{x\longmapsto-2\sqrt{x}}\) ont des sens de variation contraires, donc \(\displaystyle{x\longmapsto-2\sqrt{x}}\) est décroissante sur \(\displaystyle{\mathbb{R}^+}\).
  • L'addition d'une constante ne modifie pas le sens de variation, donc \(\displaystyle{x\longmapsto-2\sqrt{x}+3}\) est également décroissante sur \(\displaystyle{\mathbb{R}^+}\).
Etape 3

Conclure sur les variations de f

À partir des variations des fonctions de références et des éventuels coefficients multiplicateurs, déterminer les variations de la fonction.

Finalement, la fonction f est décroissante sur \(\displaystyle{\mathbb{R}^+}\).

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