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Donner une équation d'une tangente à la courbe d'une fonction dérivable

On sait déterminer par le calcul une équation d'une tangente à la courbe d'une fonction en un point d'abscisse donné.

On considère la fonction f définie pour tout \(\displaystyle{x \in\mathbb{R}}\) par :

\(\displaystyle{f\left(x\right) = 2x^2+x}\)

On appelle \(\displaystyle{C_f}\) sa courbe représentative.

Déterminer une équation de la tangente à \(\displaystyle{C_f}\) au point d'abscisse \(\displaystyle{x=1}\).

Etape 1

Réciter la formule

On énonce l'équation de la tangente : si f est une fonction dérivable en a, la tangente à \(\displaystyle{C_f}\) au point d'abscisse a a pour équation :

\(\displaystyle{y = f'\left(a\right) \left(x - a\right) + f\left(a\right)}\)

Comme fonction polynôme, f est dérivable sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\), et par conséquent en 1. La tangente \(\displaystyle{T_1}\) à \(\displaystyle{Cf}\) au point d'abscisse \(\displaystyle{x =1}\) a pour équation :

\(\displaystyle{y = f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)}\)

Etape 2

Calculer \(\displaystyle{f\left(a\right)}\)

On calcule la valeur de \(\displaystyle{f\left(a\right)}\) en remplaçant x par la valeur de a dans l'expression de f.

\(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{f\left(x\right) = 2x^2+x}\)

Donc \(\displaystyle{f\left(1\right) = 2\times 1^2 + 1 = 3}\)

Etape 3

Calculer \(\displaystyle{f'\left(a\right)}\)

Deux cas peuvent se présenter :

Cas 1

Une expression de \(\displaystyle{f'\left(x\right)}\) est connue

On calcule la valeur de \(\displaystyle{f'\left(a\right)}\) en remplaçant x par la valeur de a dans l'expression de f'.

Cas 2

Aucune expression de \(\displaystyle{f'\left(x\right)}\) n'est connue

On justifie que f est dérivable sur \(\displaystyle{I}\) et on calcule \(\displaystyle{f'\left(x\right) }\).

On calcule ensuite la valeur de \(\displaystyle{f'\left(a\right)}\) en remplaçant x par la valeur de a dans l'expression de f'.

Ici, aucune expression de \(\displaystyle{f'\left(x\right)}\) n'est connue. On détermine donc une expression de \(\displaystyle{f'\left(x\right)}\) :

f est dérivable sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) en tant que fonction polynôme.

\(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{f\left(x\right)= 2x^2+x}\)

Donc \(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{f'\left(x\right)= 4x+1}\)

Ainsi :

\(\displaystyle{f'\left(1\right)= 4\times 1+1= 5}\)

Etape 4

Conclure

On remplace, dans l'équation précédente de la tangente, \(\displaystyle{f'\left(a\right)}\) et \(\displaystyle{f\left(a\right)}\) par leurs valeurs respectives. On simplifie ensuite l'expression.

On obtient une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a.

On sait que la tangente a pour équation :

\(\displaystyle{y = f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)}\) avec \(\displaystyle{f\left(1 \right) = 3}\) et \(\displaystyle{f'\left(1\right)= 5}\).

On en déduit que \(\displaystyle{T_1}\) admet pour équation :

\(\displaystyle{T_1:y =5\left(x-1\right)+3}\)

\(\displaystyle{T_1:y =5x-5+3}\)

\(\displaystyle{T_1:y =5x-2}\)

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