Soit f la fonction définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{-\dfrac{1}{3} \right\} par f\left(x\right)=\dfrac{5}{3x+1}.
Quelle est l'expression de la fonction dérivée de f ?
La fonction f est une fonction rationnelle (quotient de deux polynômes) elle est donc dérivable sur son ensemble de définition, c'est-à-dire sur \mathbb{R}\backslash\left\{-\dfrac{1}{3} \right\}.
On remarque que f=k\times\dfrac{1}{u} avec pour tout x appartenant à \mathbb{R}\backslash\left\{-\dfrac{1}{3} \right\} :
- k=5
- u\left(x\right)=3x+1
On en déduit que f'=k\times\dfrac{-u'}{u^2} avec pour tout x appartenant à \mathbb{R}\backslash\left\{-\dfrac{1}{3} \right\} :
- u'\left(x\right)=3
Ainsi pour tout x\in\mathbb{R}\backslash\left\{-\dfrac{1}{3} \right\}, on a :
f'\left(x\right)=5\times\dfrac{-3}{\left(3x+1\right)^2}
f'\left(x\right)=\dfrac{-15}{\left(3x+1\right)^2}
Pour tout x\in\mathbb{R}\backslash\left\{-\dfrac{1}{3} \right\}, f'\left(x\right)=\dfrac{-15}{\left(3x+1\right)^2}.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{ -4 \right\} par f\left(x\right)=\dfrac{5x^2+x-3}{4+x}.
Quelle est l'expression de la fonction dérivée de f ?
La fonction f est une fonction rationnelle (quotient de deux polynômes) elle est donc dérivable sur son ensemble de définition, c'est-à-dire sur \mathbb{R}\backslash\left\{ -4 \right\}.
On remarque que f=\dfrac{u}{v} avec pour tout x appartenant à \mathbb{R}\backslash\left\{ -4 \right\} :
- u\left(x\right)=5x^2+x-3
- v\left(x\right)=4+x
On en déduit que f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2} avec pour tout x appartenant à \mathbb{R}\backslash\left\{ -4\right\} :
- u'\left(x\right)=10x+1
- v'\left(x\right)=1
Ainsi pour tout x\in\mathbb{R}\backslash\left\{ -4 \right\}, on a :
f'\left(x\right)=\dfrac{\left(10x+1\right)\left(4+x\right)-\left(5x^2+x-3\right)\times1}{\left(4+x\right)^2}
f'\left(x\right)=\dfrac{40x+10x^2+4+x-\left(5x^2+x-3\right)}{\left(4+x\right)^2}
f'\left(x\right)=\dfrac{40x+10x^2+4+x-5x^2-x+3}{\left(4+x\right)^2}
f'\left(x\right)=\dfrac{5x^2+40x+7}{\left(4+x\right)^2}
Pour tout x\in\mathbb{R}\backslash\left\{ -4 \right\}, f'\left(x\right)=\dfrac{5x^2+40x+7}{\left(4+x\right)^2}.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{ -1;\dfrac{7}{2} \right\} par f\left(x\right)=\dfrac{2x-3}{-2x^2+5x+7}.
Quelle est l'expression de la fonction dérivée de f ?
La fonction f est une fonction rationnelle (quotient de deux polynômes) elle est donc dérivable sur son ensemble de définition, c'est-à-dire sur \mathbb{R}\backslash\left\{ -1;\dfrac{7}{2} \right\}.
On remarque que f=\dfrac{u}{v} avec pour tout x appartenant à \mathbb{R}\backslash\left\{ -1;\dfrac{7}{2} \right\} :
- u\left(x\right)=2x-3
- v\left(x\right)=-2x^2+5x+7
On en déduit que f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2} avec pour tout x appartenant à \mathbb{R}\backslash\left\{ -1;\dfrac{7}{2} \right\} :
- u'\left(x\right)=2
- v'\left(x\right)=-4x+5
Ainsi pour tout x\in\mathbb{R}\backslash\left\{ -1;\dfrac{7}{2} \right\}, on a :
f'\left(x\right)=\dfrac{2\left(-2x^2+5x+7\right)-\left(2x-3\right)\left(-4x+5\right)}{\left(-2x^2+5x+7\right)^2}
f'\left(x\right)=\dfrac{-4x^2+10x+14-\left(-8x^2+10x+12x-15\right)}{\left(-2x^2+5x+7\right)^2}
f'\left(x\right)=\dfrac{-4x^2+10x+14+8x^2-10x-12x+15}{\left(-2x^2+5x+7\right)^2}
f'\left(x\right)=\dfrac{4x^2-12x+29}{\left(-2x^2+5x+7\right)^2}
Pour tout x\in\mathbb{R}\backslash\left\{ -1;\dfrac{7}{2} \right\}, f'\left(x\right)=\dfrac{4x^2-12x+29}{\left(-2x^2+5x+7\right)^2}.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{\dfrac{1}{3};1 \right\} par f\left(x\right)=\dfrac{4x^2+2x-5}{-3x^2+4x-1}.
Quelle est l'expression de la fonction dérivée de f ?
La fonction f est une fonction rationnelle (quotient de deux polynômes) elle est donc dérivable sur son ensemble de définition, c'est-à-dire sur \mathbb{R}\backslash\left\{\dfrac{1}{3};1 \right\}.
On remarque que f=\dfrac{u}{v} avec pour tout x appartenant à \mathbb{R}\backslash\left\{\dfrac{1}{3};1 \right\} :
- u\left(x\right)=4x^2+2x-5
- v\left(x\right)=-3x^2+4x-1
On en déduit que f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2} avec pour tout x appartenant à \mathbb{R}\backslash\left\{\dfrac{1}{3};1 \right\} :
- u'\left(x\right)=8x+2
- v'\left(x\right)=-6x+4
Ainsi pour tout x\in\mathbb{R}\backslash\left\{\dfrac{1}{3};1 \right\}, on a :
f'\left(x\right)=\dfrac{\left(8x+2\right)\left(-3x^2+4x-1\right)-\left(-6x+4\right)\left(4x^2+2x-5\right)}{\left(-3x^2+4x-1\right)^2}
Après développement et réduction du numérateur, on obtient :
Pour tout x\in\mathbb{R}\backslash\left\{\dfrac{1}{3};1 \right\}, f'\left(x\right)=\dfrac{22x^2-38x+18}{\left(-3x^2+4x-1\right)^2}.
Soit f la fonction définie sur \left]0;+\infty \right[ par f\left(x\right)=\dfrac{x+1}{\sqrt{x}}.
Quelle est l'expression de la fonction dérivée de f ?
La fonction x\longmapsto\sqrt{x} est dérivable et ne s'annule pas sur \left]0;+\infty\right[. La fonction x\longmapsto x+1 est également dérivable sur \left]0;+\infty\right[.
Donc, par quotient, f est dérivable sur \left]0;+\infty\right[.
On remarque que f=\dfrac{u}{v} avec pour tout x appartenant à \left]0;+\infty\right[ :
- u\left(x\right)=x+1
- v\left(x\right)=\sqrt{x}
On en déduit que f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2} avec pour tout x appartenant à \left]0;+\infty\right[ :
- u'\left(x\right)=1
- v'\left(x\right)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}
Ainsi pour tout x\in\left]0;+\infty\right[, on a :
f'\left(x\right)=\dfrac{1\times\sqrt{x}-\left(x+1\right)\times\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}{\left(\sqrt{x}\right)^2}
f'\left(x\right)=\dfrac{\dfrac{2x}{2\sqrt{x}}-\dfrac{x+1}{2\sqrt{x}}}{x}
f'\left(x\right)=\dfrac{\dfrac{x-1}{2\sqrt{x}}}{x}
f'\left(x\right)=\dfrac{x-1}{2\sqrt{x}}\times\dfrac{1}{x}
f'\left(x\right)=\dfrac{x-1}{2x\sqrt{x}}
Pour tout x\in\left]0;+\infty\right[, f'\left(x\right)=\dfrac{x-1}{2x\sqrt{x}}.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{-\dfrac{4}{3};2 \right\} par f\left(x\right)=\dfrac{-4}{-3x^2+2x+8}.
Quelle est l'expression de la fonction dérivée de f ?
La fonction f est une fonction rationnelle (quotient de deux polynômes) elle est donc dérivable sur son ensemble de définition, c'est-à-dire sur \mathbb{R}\backslash\left\{-\dfrac{4}{3};2 \right\}.
On remarque que f=k\times\dfrac{1}{u} avec pour tout x appartenant à \mathbb{R}\backslash\left\{-\dfrac{4}{3};2 \right\} :
- k=-4
- u\left(x\right)=-3x^2+2x+8
On en déduit que f'=k\times\dfrac{-u'}{u^2} avec pour tout x appartenant à \mathbb{R}\backslash\left\{-\dfrac{4}{3};2 \right\} :
- u'\left(x\right)=-6x+2
Ainsi pour tout x\in\mathbb{R}\backslash\left\{-\dfrac{4}{3};2 \right\}, on a :
f'\left(x\right)=-4\times\dfrac{-\left(-6x+2\right)}{\left(-3x^2+2x+8\right)^2}
f'\left(x\right)=-4\times\dfrac{6x-2}{\left(-3x^2+2x+8\right)^2}
f'\left(x\right)=\dfrac{-24x+8}{\left(-3x^2+2x+8\right)^2}
Pour tout x\in\mathbb{R}\backslash\left\{-\dfrac{4}{3};2 \right\}, f'\left(x\right)=\dfrac{-24x+8}{\left(-3x^2+2x+8\right)^2}.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{ \dfrac{1}{3} \right\} par f\left(x\right)=\dfrac{2x-4}{-3x+1}.
Quelle est l'expression de la fonction dérivée de f ?
La fonction f est une fonction rationnelle (quotient de deux polynômes) elle est donc dérivable sur son ensemble de définition, c'est-à-dire sur \mathbb{R}\backslash\left\{ \dfrac{1}{3} \right\}.
On remarque que f=\dfrac{u}{v} avec pour tout x appartenant à \mathbb{R}\backslash\left\{ \dfrac{1}{3} \right\} :
- u\left(x\right)=2x-4
- v\left(x\right)=-3x+1
On en déduit que f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2} avec pour tout x appartenant à \mathbb{R}\backslash\left\{ \dfrac{1}{3} \right\} :
- u'\left(x\right)=2
- v'\left(x\right)=-3
Ainsi pour tout x\in\mathbb{R}\backslash\left\{ \dfrac{1}{3} \right\}, on a :
f'\left(x\right)=\dfrac{2\left(-3x+1\right)-\left(2x-4\right)\left(-3\right)}{\left(-3x+1\right)\,^2}
f'\left(x\right)=\dfrac{-6x+2-\left(-6x+12\right)}{\left(-3x+1\right)\,^2}
f'\left(x\right)=\dfrac{-10}{\left(-3x+1\right)\,^2}
Pour tout x\in\mathbb{R}\backslash\left\{ \dfrac{1}{3} \right\}, f'\left(x\right)=\dfrac{-10}{\left(-3x+1\right)\,^2}.