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Obtenir le sens de variation de f à partir de la représentation graphique de f'

La représentation graphique d'une fonction f' dérivée d'une fonction f permet d'obtenir, grâce à son signe, les variations de la fonction f.

On considère une fonction f définie sur \(\displaystyle{\left[ -1;4 \right]}\) dont la courbe représentative de sa fonction dérivée f' est tracée sur le graphique ci-dessous :

-

Déterminer le sens de variation de la fonction f sur \(\displaystyle{\left[ -1 ; 4 \right]}\).

Etape 1

Réciter le cours

On rappelle que :

  • Si f' est positive sur un intervalle I, alors f est croissante sur I.
  • Si f' est négative sur un intervalle I, alors f est décroissante sur I.

On sait que :

  • Si f' est positive sur un intervalle I, alors f est croissante sur I.
  • Si f' est négative sur un intervalle I, alors f est décroissante sur I.
Etape 2

Déterminer graphiquement le signe de \(\displaystyle{f'\left(x\right)}\) suivant les valeurs de x

On détermine graphiquement le signe de \(\displaystyle{f'\left(x\right)}\) (positif lorsque la courbe est située au-dessus de l'axe des abscisses, négatif sinon).

On identifie sur le graphique les abscisses des points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses.

-

On en déduit le signe de \(\displaystyle{f'\left(x\right)}\) :

-
Etape 3

Donner les variations de f

On en déduit les variations de f.

On en déduit que :

  • f est croissante sur \(\displaystyle{\left[0,5;2,5 \right]}\)
  • f est décroissante sur \(\displaystyle{\left[ -1;0,5 \right]}\) et sur \(\displaystyle{\left[2,5;4 \right]}\)

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