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Déterminer la position relative d'une courbe et de sa tangente

Après avoir déterminé une équation de la tangente, il est souvent demandé de déterminer la position relative de la courbe et de cette tangente, c'est-à-dire d'étudier laquelle est graphiquement au-dessus de l'autre. Cette question se résout par une étude de signe.

On considère la fonction f définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par :

\(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{f\left(x\right)=x^3-2x^2+x-4}\)

On appelle \(\displaystyle{C_f}\) sa courbe représentative et T sa tangente au point d'abscisse 0 d'équation \(\displaystyle{y=x-4}\).

Déterminer la position relative de \(\displaystyle{C_f}\) et de T.

Etape 1

Rappeler l'équation de la tangente

D'après le cours, on sait qu'une équation de la tangente à \(\displaystyle{C_f}\) (la courbe représentative de f) au point d'abscisse a est :

\(\displaystyle{y = f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right)}\)

Si on ne connaît pas déjà l'équation de la tangente, on la détermine.

Une expression de la tangente T au point d'abscisse 0 est ici connue :

\(\displaystyle{T:y= x-4}\)

Etape 2

Énoncer la démarche

On énonce la démarche : pour étudier la position relative de \(\displaystyle{C_f}\) et de \(\displaystyle{T:y=ax+b}\), on étudie le signe de \(\displaystyle{f\left(x\right) -\left(ax+b\right)}\).

Pour étudier la position relative de \(\displaystyle{C_f}\) et de T, on étudie le signe de \(\displaystyle{f\left(x\right) -\left(x-4\right)}\).

Etape 3

Calculer \(\displaystyle{f\left(x\right)-\left(ax+b\right)}\)

On calcule \(\displaystyle{f\left(x\right) -\left(ax+b\right)}\) et on simplifie au maximum afin d'obtenir une expression dont il est facile de déterminer le signe.

Pour tout réel x :

\(\displaystyle{f\left(x\right) - \left(x-4\right)= x^3-2x^2+x-4 -x+4}\)

\(\displaystyle{f\left(x\right) - \left(x-4\right)= x^3-2x^2}\)

On factorise alors l'expression obtenue pour pouvoir ensuite étudier son signe :

\(\displaystyle{f\left(x\right) - \left(x-4\right)= x^2\left(x-2\right)}\)

Etape 4

Étudier le signe de \(\displaystyle{f\left(x\right)-\left(ax+b\right)}\)

On étudie le signe de \(\displaystyle{f\left(x\right) -\left(ax+b\right)}\) en fonction des valeurs de x. On peut utiliser un tableau de signes en cas d'expression compliquée.

On étudie le signe de \(\displaystyle{f\left(x\right) -\left(x-4\right)}\) :

  • Pour tout réel x, \(\displaystyle{x^2 \geq0}\)
  • \(\displaystyle{x-2 \gt 0 \Leftrightarrow x \gt 2}\)

On en déduit le tableau de signes suivant :

-
Etape 5

Conclure

On conclut sur la position relative, en trois points :

  • Sur les intervalles où \(\displaystyle{f\left(x\right) -\left(ax+b\right) \gt 0}\), \(\displaystyle{C_f}\) est au-dessus de T.
  • Sur les intervalles où \(\displaystyle{f\left(x\right) -\left(ax+b\right) \lt 0}\), \(\displaystyle{C_f}\) est en dessous de T.
  • Lorsque \(\displaystyle{f\left(x\right) -\left(ax+b\right) = 0}\), \(\displaystyle{C_f}\) et T ont un point d'intersection (c'est le cas notamment pour le point de tangence).

Ainsi :

  • \(\displaystyle{C_f}\) est au-dessus de T sur \(\displaystyle{\left]2 ; +\infty \right[}\).
  • \(\displaystyle{C_f}\) est en dessous de T sur \(\displaystyle{\left]-\infty;2 \right[}\).
  • \(\displaystyle{C_f}\) et T se coupent au point d'abscisse 2 et ont un point de tangence au point d'abscisse 0.

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