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Déterminer graphiquement la valeur de f'(a)

On peut déterminer graphiquement la valeur de la dérivée d'une fonction f en un réel a, en utilisant la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a.

On considère la fonction f, dont la courbe représentative \(\displaystyle{C_f}\) est donnée ci-dessous. \(\displaystyle{T_0}\) est la tangente à \(\displaystyle{C_f}\) au point d'abscisse 0. Déterminer graphiquement la valeur de \(\displaystyle{f'\left(0\right)}\).

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Etape 1

Réciter le cours

On rappelle que \(\displaystyle{f'\left(a\right)}\) est égal au coefficient directeur de la tangente à \(\displaystyle{C_f}\) au point d'abscisse a.

\(\displaystyle{f'\left(0\right)}\) vaut le coefficient directeur de la tangente à \(\displaystyle{C_f}\) au point d'abscisse 0.

Etape 2

Repérer la tangente sur le graphique

On repère sur le graphique la tangente à \(\displaystyle{C_f}\) au point d'abscisse a si elle est déjà tracée.

Si la tangente est horizontale, on s'arrête et on conclut sans plus de calculs que \(\displaystyle{f'\left(a\right)=0}\).

\(\displaystyle{T_0}\) est la tangente à \(\displaystyle{C_f}\) au point d'abscisse 0.

Etape 3

Choisir deux points de la tangente

On choisit deux points \(\displaystyle{A\left(x_A;y_A\right)}\) et \(\displaystyle{B\left(x_B;y_B\right)}\) appartenant à la tangente.

\(\displaystyle{A\left(-1;0\right)}\) et \(\displaystyle{B\left(2;6\right) }\) appartiennent à \(\displaystyle{T_0}\).

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Etape 4

Calculer le coefficient directeur

On calcule le coefficient directeur de la tangente :

\(\displaystyle{\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}\)

Donc le coefficient directeur de \(\displaystyle{T_0}\) vaut :

\(\displaystyle{\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} = \dfrac{6-0}{2-\left(-1\right)}}\)

\(\displaystyle{\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} = \dfrac{6}{3}}\)

\(\displaystyle{\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} = 2}\)

Etape 5

Conclure

\(\displaystyle{f'\left(a\right)}\) est égal au coefficient directeur de la tangente à \(\displaystyle{C_f}\) au point d'abscisse a.

On conclut :

\(\displaystyle{f'\left(a\right) = \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}\)

Le coefficient directeur de la tangente à \(\displaystyle{C_f}\) au point d'abscisse 0 vaut 2, ainsi :

\(\displaystyle{f'\left(0\right) = 2}\)

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