Terminale S 2016-2017

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Dériver une fonction

Dériver une fonction est la première étape de toute étude de fonction.

Dériver la fonction f définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}^+}\) par :

\(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^+}\), \(\displaystyle{f\left(x\right) = \dfrac{x}{\left(1+x\right)^2}}\)

Etape 1

Préciser le domaine de dérivabilité de f

Avant de dériver f, on mentionne que f est dérivable et on précise son domaine de dérivabilité.

En général, f est dérivable en tant que somme, produit, quotient ou composée de fonctions dérivables.

La fonction f est dérivable sur \(\displaystyle{\mathbb{R}^+}\) en tant que quotient de fonctions dérivables sur \(\displaystyle{\mathbb{R}^+}\) dont le dénominateur ne s'annule pas.

Etape 2

Identifier la ou les formule(s) à utiliser

Selon la forme de f, on détermine si l'on va utiliser la formule de dérivée d'une somme, d'un produit, d'un quotient, d'une puissance, d'une racine ou d'une composée de fonctions.

Cette étape ne s'écrit pas sur la copie mais fait partie du cheminement de la réflexion à avoir.

On est en présence d'un quotient, ainsi que d'une puissance.

Etape 3

Exprimer f à l'aide de fonctions intermédiaires

On introduit les fonctions intermédiaires dont f est la somme, le produit, le quotient ou la composée.

On introduit autant de fonctions intermédiaires que nécessaire.

On remarque que \(\displaystyle{f= \dfrac{u}{v}}\) avec, pour tout réel x appartenant à \(\displaystyle{\mathbb{R}^+}\) :

  • \(\displaystyle{u\left(x\right) = x}\)
  • \(\displaystyle{v\left(x\right) = \left(1+x\right)^2}\)
Etape 4

Exprimer f' à l'aide des fonctions intermédiaires

On en déduit l'expression de f' en fonction des fonctions intermédiaires introduites et de leurs dérivées.

On a donc :

\(\displaystyle{f' = \dfrac{u'v-uv'}{v^2}}\)

Etape 5

Dériver les fonctions intermédiaires

On dérive ensuite chacune des fonctions intermédiaires.

On a :

\(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^+}\), \(\displaystyle{u'\left(x\right) = 1}\)

On remarque qu'il faut également utiliser une formule pour dériver la fonction v. On a \(\displaystyle{v= w^2}\), avec :

\(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^+}\), \(\displaystyle{w\left(x\right) = 1+x}\)

On en déduit :

\(\displaystyle{v' = 2w'w}\)

Sachant que, \(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^+}\), \(\displaystyle{w'\left(x\right) = 1}\), on en conclut :

\(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^+}\), \(\displaystyle{v' \left(x\right) = 2\times 1 \times \left(1+x\right)= 2\left(1+x\right)}\)

Etape 6

Calculer \(\displaystyle{f'\left(x\right)}\)

On remplace u, v, u', v', etc. par leurs valeurs respectives dans l'expression de f'.

On simplifie le résultat de manière à aboutir à une forme dont on peut facilement déterminer le signe, puisqu'il s'agit généralement de la tâche à effectuer ensuite.

On obtient :

\(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^+}\), \(\displaystyle{f'\left(x\right) = \dfrac{1\times \left(1+x\right)^2-x\times 2\left(1+x\right)}{\left(1+x\right)^4}}\)

Soit :

\(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^+}\), \(\displaystyle{f'\left(x\right) = \dfrac{1+2x+x^2-2x-2x^2 }{\left(1+x\right)^4}}\)

\(\displaystyle{f'\left(x\right) = \dfrac{1-x^2}{\left(1+x\right)^4}}\)

On simplifie l'expression en factorisant le numérateur :

\(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^+}\), \(\displaystyle{f'\left(x\right) = \dfrac{\left(1-x\right)\left(1+x\right)}{\left(1+x\right)^4}}\)

On obtient finalement :

\(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^+}\), \(\displaystyle{f'\left(x\right) = \dfrac{1-x}{\left(1+x\right)^3}}\)