Soit la fonction f définie par :
f\left(x\right)=\dfrac{x^2-6x}{x^2-6x+8}
On note C_f la courbe représentative de f.
Après avoir déterminé son ensemble de définition, dresser le tableau de variations de f.
Détermination de D_f
f\left(x\right) existe si et seulement si x^2-6x+8\neq0.
On cherche les solutions de l'équation x^2-6x+8=0 pour exclure les solutions de l'ensemble de définition de f.
Il s'agit d'une équation du second degré que l'on peut résoudre en utilisant le discriminant :
\Delta=b^2-4ac=\left(-6\right)^2-4\times1\times8=36-32=4
\Delta\gt0, donc l'équation admet deux solutions distinctes :
- x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{6-\sqrt{4}}{2\times1}=\dfrac{6-2}{2}=\dfrac{4}{2}=2
- x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{6+\sqrt{4}}{2\times1}=\dfrac{6+2}{2}=\dfrac{8}{2}=4
Ainsi D_f=\mathbb{R}\backslash\left\{ 2;4 \right\}
Calcul de f'(x)
La fonction f est une fonction rationnelle (quotient de deux polynômes) elle est donc dérivable sur son ensemble de définition, c'est-à-dire sur \mathbb{R}\backslash\left\{2;4 \right\}.
On remarque que f=\dfrac{u}{v} avec pour tout x appartenant à \mathbb{R}\backslash\left\{ 2;4 \right\} :
- u\left(x\right)=x^2-6x
- v\left(x\right)=x^2-6x+8
On en déduit que f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2} avec pour tout x appartenant à \mathbb{R}\backslash\left\{ 2;4 \right\} :
- u'\left(x\right)=2x-6
- v'\left(x\right)=2x-6
Ainsi pour tout x\in\mathbb{R}\backslash\left\{ 2;4 \right\}, on a :
f'\left(x\right)=\dfrac{\left(2x-6\right)\left(x^2-6x+8\right)-\left(x^2-6x\right)\left(2x-6\right)}{\left(x^2-6x+8\right)^2}
f'\left(x\right)=\dfrac{\left(2x-6\right)\left[\left(x^2-6x+8\right)-\left(x^2-6x\right)\right]}{\left(x^2-6x+8\right)^2}
f'\left(x\right)=\dfrac{\left(2x-6\right)\left[x^2-6x+8-x^2+6x\right]}{\left(x^2-6x+8\right)^2}
f'\left(x\right)=\dfrac{8\left(2x-6\right)}{\left(x^2-6x+8\right)^2}
Etude du signe de f'(x)
On a, pour tout x appartenant à \mathbb{R}\backslash\left\{ 2;4 \right\}, f'\left(x\right)=\dfrac{8\left(2x-6\right)}{\left(x^2-6x+8\right)^2}.
- 8 > 0
- 2x-6\gt0\Leftrightarrow 2x\gt6\Leftrightarrow x\gt3
- \left(x^2-6x+8\right)^2\gt0
On obtient le tableau de signes de f'(x) :
Sens de variations de f
Une fonction est croissante lorsque sa dérivée est positive, et décroissante lorsque sa dérivée est négative. On obtient le tableau de variations de f :
Tracer C_f
Tracer la courbe représentative de la fonction |f|.
Lorsque f\left(x\right)\geqslant0, c'est-à-dire lorsque C_f est au-dessus de l'axe des abscisses, |f\left(x\right)|=f\left(x\right).
Lorsque f\left(x\right)\leqslant0, c'est-à-dire lorsque C_f est en dessous de l'axe des abscisses, |f\left(x\right)|=-f\left(x\right). Dans ce cas, on obtient C_{|f|} en prenant le symétique de C_f par rapport à l'axe des abscisses.
On obtient la courbe représentative de la fonction |f|
