Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=x^3-4x^2+5x+3
On note C_f la courbe représentative de f.
Après avoir déterminé son ensemble de définition, dresser le tableau de variations de f.
Calcul de f'(x)
La fonction f est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur \mathbb{R}.
Ainsi pour tout x\in\mathbb{R}, on a :
f'\left(x\right)=3x^2-8x+5
Etude du signe de f'(x)
3x^2-8x+5 est un trinôme du second degré, donc pour étudier son signe, on peut calculer son discriminant :
\Delta=b^2-4ac=\left(-8\right)^2-4\times3\times5=64-60=4
\Delta\gt0, donc le trinôme est du même signe que le coefficient de son terme de degré 2 (positif) à l'extérieur de ses racines et du signe contraire à l'intérieur.
- x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{8-\sqrt{4}}{2\times3}=\dfrac{8-2}{6}=\dfrac{6}{6}=1
- x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{8+\sqrt{4}}{2\times3}=\dfrac{8+2}{6}=\dfrac{10}{6}=\dfrac{5}{3}
On obtient le tableau de signes de f'\left(x\right) :
Sens de variations de f
Une fonction est croissante lorsque sa dérivée est positive, et décroissante lorsque sa dérivée est négative. On obtient le tableau de variations de f :
Tracer C_f
Tracer la courbe représentative de la fonction |f|.
Lorsque f\left(x\right)\geqslant0, c'est-à-dire lorsque C_f est au-dessus de l'axe des abscisses, |f\left(x\right)|=f\left(x\right).
Lorsque f\left(x\right)\leqslant0, c'est-à-dire lorsque C_f est en dessous de l'axe des abscisses, |f\left(x\right)|=-f\left(x\right). Dans ce cas, on obtient C_{|f|} en prenant le symétique de C_f par rapport à l'axe des abscisses.
On obtient la courbe représentative de la fonction |f|
