Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=-2x^3+5x^2+4x-1
On note C_f la courbe représentative de f.
Après avoir déterminé son ensemble de définition, dresser le tableau de variations de f.
Calcul de f'(x)
La fonction f est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur \mathbb{R}.
Ainsi pour tout x\in\mathbb{R}, on a :
f'\left(x\right)=-6x^2+10x+4
Etude du signe de f'(x)
-6x^2+10x+4 est un trinôme du second degré, donc pour étudier son signe, on peut calculer son discriminant :
\Delta=b^2-4ac=10^2-4\times\left(-6\right)\times4=100+96=196
\Delta\gt0, donc le trinôme est du même signe que le coefficient de son terme de degré 2 (négatif) à l'extérieur de ses racines et du signe contraire à l'intérieur.
- x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-10-\sqrt{196}}{2\times\left(-6\right)}=\dfrac{-10-14}{-12}=\dfrac{-24}{-12}=2
- x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-10+\sqrt{196}}{2\times\left(-6\right)}=\dfrac{-10+14}{-12}=\dfrac{4}{-12}=-\dfrac{1}{3}
On obtient le tableau de signes de f'\left(x\right) :
Sens de variations de f
Une fonction est croissante lorsque sa dérivée est positive, et décroissante lorsque sa dérivée est négative. On obtient le tableau de variations de f :
Tracer C_f
Tracer la courbe représentative de la fonction |f|.
Lorsque f\left(x\right)\geqslant0, c'est-à-dire lorsque C_f est au-dessus de l'axe des abscisses, |f\left(x\right)|=f\left(x\right).
Lorsque f\left(x\right)\leqslant0, c'est-à-dire lorsque C_f est en dessous de l'axe des abscisses, |f\left(x\right)|=-f\left(x\right). Dans ce cas, on obtient C_{|f|} en prenant le symétique de C_f par rapport à l'axe des abscisses.
On obtient la courbe représentative de la fonction |f|
